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Promoción Directa 2011
Ingeniería Civil – Ingeniería Química
Teórico: Secciones Cónicas
En este material encontrara la teoría correspondiente a la Unidad Temática: Cónicas.
Estudiaremos la descripción analíticamente a los lugares geométricos denominados: circunferencia, elipse,
hipérbola y parábola, o sintéticamente: cónicas.
Además, hallara actividades prácticas cuyas respuestas sepublicaran por separado.
Estas actividades prácticas definen una mínima de ejercicios que si usted los resuelve bien significará que ha
comprendido el marco teórico. Para ampliar, ofrecemos el trabajo práctico de la Cátedra.
No dude en consultarnos, para poder avanzar con el estudio de estos contenidos.
Recuerde que estos contenidos y los de la Unidad Temática: Cuádricas, forman parte de unainstancia de
evaluación oral, cuyo detalle daremos a conocer a la brevedad. Las fechas de esta instancia figuran en el
cronograma correspondiente a su curso.

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CÓNICAS
Origen del nombre Cónica
A Apolonio de Perga (contemporáneo de Arquímedes, siglo III aC) se le recuerda como el gran geómetra. Se
preocupó y ocupó especialmente de cuestiones geométricas. Su famosa obra de ocho volúmenes sobrelas
secciones cónicas, elevaron el estudio de las curvas de segundo grado a una perfección no superada durante
siglos. Al comenzar su libro, Apolonio demuestra que circunferencia, elipse, parábola e hipérbola pueden
determinarse al cortar una superficie cónica circular recta con planos de distinta inclinación, de ahí que estas
curvas son llamadas secciones cónicas, o simplemente cónicas.
Lasconclusiones de este matemático serán demostradas en la siguiente sección. Se hará a continuación un breve
resumen a modo de justificación del nombre.
Se empezará por definir superficie cónica, desde la geometría analítica, ya que presenta algunas diferencias a la
usada en el lenguaje popular.
Superficie cónica es la superficie generada por una recta, denominada generatriz g , que se mueve detal manera
que pasa siempre por una curva plana fija llamada curva directriz d y por un punto fijo V que no pertenece al
plano de la curva, al que se lo denomina vértice.

En el siguiente esquema se visualiza la construcción de la superficie cónica cuya directriz es una curva plana
cerrada:

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Si en particular la directriz g gira alrededor de la recta r , a la que corta en V y con la queforma un ángulo α ,
la superficie se denomina superficie cónica circular recta, o simplemente cono recto. En este caso es posible
considerar como directriz cualquier circunferencia contenida en un plano perpendicular a la recta r, denominada
eje de la superficie.

El vértice divide a la superficie en dos, las que se denominan hojas o ramas del cono.

Cónicas. Definición geométrica
Demanera genérica se denomina cónica a una curva formada por la intersección de un plano con la superficie
de un cono circular recto. Denominando β y α a los ángulos que forman el plano π y una generatriz con el
eje r de la superficie, respectivamente, las cónicas se clasifican en:
• Elipse: Si α < β < π , el plano corta a sólo una de las hojas de la superficie.
2
• Circunferencia Si β = π , elplano corta a sólo una de las hojas de la superficie.
2
• Parábola β = α , el plano corta a sólo una de las hojas y es paralelo a una generatriz del cono.
• Hipérbola Si 0 ≤ β < α , El plano corta a ambas hojas de la superficie.

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Existen casos particulares, como se aprecia en la siguiente figura, donde un plano π corta a la superficie
cónica determinando “curvas” que no son verdaderascónicas. Esto sucede cuando el plano contiene al vértice
V . En este caso las intersecciones entre el plano y la superficie determinan un punto, una recta o un par de
rectas que se cortan en el vértice de la superficie. Suele denominárselas “cónicas degeneradas” o “falsas
cónicas”.

Las curvas planas cónicas (o simplemente cónicas) tienen propiedades geométricas interesantes, muchas de las...