T de Student

Distribución t de Student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmentedistribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para laconstrucción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos deuna muestra.
Caracterización
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde
Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribuciónchi-cuadrado con  grados de libertad
Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente  es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetrode no-centralidad μ.
Aparición y especificaciones de la distribución t de Student
Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianzaσ2.Sea

la media muestral. Entonces

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió uncociente relacionado,

donde

es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es

donde  es igual a n − 1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.
Elparámetro  representa el número de grados de libertad. La distribución depende de , pero no de μ o σ, lo cual es muy importante en la práctica.
Intervalos de confianza derivados de la distribución t deStudent
El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media ,...