T de student

ASIGNATURA: ESTADÍSTICA APLICADA
PROFESORA: ELSY URDANETA

Tema Nº 3: “Distribuciones de Probabilidad t de Student, Chi-cuadrado y F de Snedecor”.
Distribución t de Student: definición, características, representación gráfica. Uso de la distribución t de Student. Cálculo de valores críticos. Distribución Chi-cuadrado (2): definición, características, representación gráfica. Cálculo devalores críticos. Cálculo de probabilidades bajo el área de la curva. Distribución F de Snedecor: definición, características, representación gráfica. Cálculo de valores críticos. Cálculo de probabilidades bajo el área de la curva.
Tema Nº 4: “Inferencia Estadística basada en la t, 2 y F”.
Aplicaciones de la distribución de probabilidad t de Student: Inferencia estadística respecto a una mediapoblacional, diferencia de medias para muestras dependientes e independientes con varianzas poblacionales iguales. Aplicaciones de la distribución de probabilidad Chi-cuadrado (2): pruebas de chi cuadrado de la bondad de ajuste y prueba de independencia. Aplicaciones de la distribución de probabilidad F de Snedecor.

Distribución t de Student

Definición
Se dice que una variable aleatoria siguela distribución t de Student si su función de densidad de probabilidad está dada por la siguiente ecuación:


Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea

la media muestral. Entonces

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida deantemano, el estadístico de contraste será:


donde

es la varianza muestral con función de densidad f(t) y donde ν es igual a n − 1.
El parámetro ν representa el número de grados de libertad. La distribución depende de ν, pero no de μ o σ, lo cual es muy importante en la práctica.
La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset, quien trabajaba en una fábrica decerveza, Guiness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el seudónimo de Student.

Características de la distribución t de Student
Una variable t varía de –α a +α
Es simétrica con E(t) = 0 para γ > 1 y V(t) = γ/( γ – 2) para γ> 2
La distribución t tiene mayordispersión que la distribución normal estándar.

La distribución T es más ancha que la distribución normal tipificada para un número de grados de libertad pequeño. Cuando los grados de libertad tienden a infinito, la distribución T tiende a coincidir con la distribución normal estándar. Es decir, en la medida que aumentemos el número de observaciones de la muestra, la desviación estándar calculadaestará más próxima a la desviación estándar de la población y entonces la distribución T correspondiente se acerca a la distribución normal estándar. El uso de la distribución T presupone que la población con que estamos trabajando tiene una distribución normal.

Representación gráfica


Cálculo de valores críticos
Con el número de grados de libertad y el nivel de significación de la pruebapodemos buscar el valor crítico, tanto en la tabla como con el programa Excel.
Cuando usamos la tabla tenemos el número de grados de libertad en la primera columna y el nivel de significación para una o dos colas en la primera y segunda fila respectivamente. Por ejemplo, si tenemos una prueba bilateral con un nivel de significación del 5% y con10 grados de libertad, el punto crítico para latoma de decisiones será de 2.228.
Si usan el programa Excel en el ícono de más funciones, oprimimos estadísticas y en estadísticas seleccionamos DISTR.T.INV. Abre la ventana argumentos de función. En probabilidad le daremos el valor de nivel de significación para una prueba de dos colas y el número de grados de libertad e inmediatamente nos dará el valor del punto crítico que establece las zonas...