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Tema IX: TOPOLOGÍA

Tema IX: TOPOLOGÍA

Tema IX: TOPOLOGÍA
IX.1. Distancia euclídea en Rn . Propiedades

Definición

DEF. Dados x, y ∈ Rn , se define la distancia euclídea como:
d (x, y) =

(x1 − y1)2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 = xy

n = 1: d (x, y) = |x − y|
n = 2: d (x, y) =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

n = 2: d (x, y) =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2

Tema IX: TOPOLOGÍAIX.1. Distancia euclídea en Rn . Propiedades

Propiedades

1

d (x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ Rn
d (x, y) = 0 ⇔ x = y
∀x, y ∈ Rn (Simetría)

2

d (x, y) = d (y, x)

3

d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y)
(DesigualdadTriangular)

∀x, y, z ∈ Rn

DEF. Una distancia en Rn es una aplicación
d : Rn × Rn → R+ ∪ {0} que verifica las propiedades anteriores.

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IX.1. Distancia euclídea en Rn . PropiedadesBolas abiertas y cerradas
DEF. Sea a ∈ Rn y r ∈ R+ , se define la bola abierta de centro
a y radio r como el conjunto de los puntos cuya distancia al
centro es estrictamente menor que el radio:
B(a,r ) = {x ∈ Rn : d (x, a) < r }
DEF. Sea a ∈ Rn y r ∈ R+ , se define la bola cerrada de centro
a y radio r como el conjunto de los puntos cuya distancia al
centro es menor o igual que el radio:
¯ r ) ={x ∈ Rn : d (x, a) ≤ r }
B(a,

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IX.1. Distancia euclídea en Rn . Propiedades

Bolas abiertas y cerradas (II)

n = 1: B(a, r ) = (a − r , a + r )
¯ r ) = [a − r , a + r ]
B(a,
n =2: B(a, r ) = (x, y) ∈ R2 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 < r
¯ r ) = (x, y) ∈ R2 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 ≤ r
B(a,
n = 3:
B(a, r ) = (x, y, z) ∈ R3 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 + (z − a3 )2 < r
¯ r ) = (x, y,z) ∈ R3 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 + (z − a3 )2 ≤ r
B(a,

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IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto

Puntos interiores

Sea A ⊂ Rn y a∈ Rn .
DEF. Se dice que a ∈ A es un punto interior de A si existe
alguna bola abierta centrada en a y contenida en A:
∃r > 0/B(a, r ) ⊂ A
Denotamos por Int(A) al conjunto de los puntos interiores...