u de chile

Evaluaci´n sumativa No 2
o

C´lculo I -PC. (08/04/2013)
a

Instrucciones: • NO HAY CONSULTAS.
• Las respuestas sin desarrollo y/o justificaci´n no dan puntaje.
o
• Recuerde que debe realizarsu prueba en su secci´n respectiva.
o
• Queda totalmente prohibido el uso de calculadoras programables y
celulares.
• Secciones:

A : Prof. Sergio Ya˜ez.
n
D : Prof. Felipe Guevara.
B : Prof.Cristian Mardones. E : Prof. Ricardo Guajardo.
C : Prof. Roque Bustamente.
P untos
.
Duraci´n= 2 horas
o
10
1. [15 ptos.] Responder en la hoja 1 Determinar el valor de n, sabiendo que:

U deTalca

Nota=1+

n + (n + 1) + (n + 2) + . . . + (n + n) = 360
2. [15 ptos.] Responder en la hoja 2
Demuestre, por inducci´n que
o
1
2 + 5 + 8 + . . . + (3n − 1) = n(3n + 1) ∀ n ∈ N
2
3.[15 ptos.] Responder en la hoja 3
a) Dibujar un segmento de longitud 1.

b) Dividir el segmento anterior en 3 partes iguales y borrar el tercio central.

c) Cada uno de los nuevos segmentosdividirlos en 3 partes iguales y borrar cada tercio
central.

y as´ sucesivamente.
ı
Calcular la suma de las longitudes de todos los segmentos omitidos.
4. [15 ptos.] Responder en la hoja 4
Sea x ∈ R− {0}. En el desarrollo

x9 −

1
x−4

15

. Encontrar

a) el s´ptimo t´rmino, si es que existe.
e
e
b) el t´rmino independiente de x, si es que existe.
e

Instituto de Matem´tica yF´sica
a
ı

Universidad de Talca

Evaluaci´n sumativa No 2
o

C´lculo I -PC. (08/04/2013)
a

Pauta:
1.
n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n) = 360
n

(n + i)

n+
i=1

= 360
n

n+n+
i=1

U de Talca

n+

n

i = 360
i=1

n(n + 1)
= 360
2
2
n + n − 240 = 0

n2 +

de donde n = −16 o n = 15
Por lo tanto, el valor de n es igual a 15.
Nota: Este ejerciciotambi´n se puede abordar observando que
e
n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n)
es una progresi´n aritm´tica con primer t´rmino n y diferencia d.
o
e
e
1
2. Sea P (n) : 2 + 5 + 8 + . . . +...