Álgebra De Boole

Álgebra de Boole
Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF)[cita requerida], así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Historia[editar]
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de unsistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic,1 publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógicaproposicional. Más tarde fue extendido como un libro más importante: An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (también conocido como An Investigation of the Laws of Thought2 o simplemente The Laws of Thought3 ), publicado en 1854.
Las interpretaciones respectivas de los símbolos 0 y 1 en el sistema de lógica son Nada y Universo.George Boole4
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo unafunción aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.
Definición[editar]
Dado un conjunto:  formado cuando menos por los elementos:  en el que se ha definido:
Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.

Para todo elemento a en B, se cumple que existe unúnico b en B, tal que b es el complemento de a.
La operación binaria interna, que llamaremos suma:

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.
La operación binaria interna, que llamaremos producto:

Con lo que definimos unaaplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.
Axiomasnecesarios[editar]
Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas:  son un álgebra de boole, si cumple las siguientes axiomas:
1a: La ley asociativa de la suma:

1b: La ley asociativa del producto:

2a: Existencia del elemento neutro para la suma:

2b: Existencia del elemento neutro para el producto:

3a: La ley conmutativa de la suma:

3b: La ley conmutativa del producto:

4a:Ley distributiva de la suma respecto al producto:

4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:

5a: Existe elemento complemento para la suma:

5b: Existe elemento complemento para el producto:

Teoremas fundamentales[editar]
Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales:
6a: Ley de idempotencia para la suma:

6b: Ley de idempotencia parael producto:

7a: Ley de absorción para la suma:

7b: Ley de absorción para el producto:

8a: Ley de identidad para la suma:

8b: Ley de identidad para el producto:

9: Ley de involución:

10: Ley del complemento:


11: Leyes de De Morgan:


Orden en el álgebra de Boole[editar]
Sea:  un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo...