Álgebra Lineal

Sistemas de ecuaciones lineales
Geométricamente, una ecuación de la forma ax + by + cz = d se puede interpretar como un plano en el espacio.
EJEMPLO. Resuelva el sistema.
3x - 2y + z = 1
x - y -z = 2
6x – 4y -2z = 3

Sumamos las dos primeras ecuaciones para eliminar z.

3x - 2y + z = 1
x - y -z = 2
___________
4x – 3y = 3
Ahora, eliminamos z de la segunda y terceraecuaciones. Para lograrlo, multiplicamos por 2 la segunda ecuación y, luego, sumamos.
2x - 2y -2z = 4
6x – 4y - 2z = 3
-----------------------
8x – 6y = 7
Acto seguido, debemos resolver el sistema de dos ecuaciones con dos variables:
4x - 3y = 3
8x – 6y = 7
Observe usted lo que sucede si multiplicamospor 2 la primera de estas dos ecuaciones y, después, restamos.
8x - 6y = 6
8x – 6y = 7
-------------------
0 = - 1
Esta conclusión, que es falsa, indica que el sistema original de ecuaciones es inconsistente; así, no tiene solución. Geométricamente, en este ejemplo, dos de los tres planos representados por las ecuaciones dadas son paralelos.


Resolución de sistemaslineales por medio de matrices
En esta sección, desarrollaremos otro método, que resulta más eficaz. Empezaremos formando una disposición rectangular de números, llamada matriz, que consiste en los coeficientes y constantes del sistema. Por ejemplo, el siguiente sistema lineal:

2 x + 5 y + 8 z = 11
x + 4 y +7 z = 10
3x + 6 y + 12 z =15

se reemplaza por estamatriz:
Coeficientes
x y z
↓ ↓ ↓

■(Fila 1@Fila 2@Fila 3)[■(2&5&8 | 11 @1&4&7 | 10@3&6&12| 15)]

Compare los pasos señalados en las dos columnasdel cuadro que aparece a continuación. Observe que el objetivo consiste en transformar el sistema lineal original en la expresión obtenida en el quinto paso.




Trabajo con las ecuaciones Trabajo con matrices
Paso 1 Escribimos el sistema
2 x + 5 y + 8 z = 11
x + 4 y + 7 z =103 x + 6 y + 12 z = 11 Paso 1 Escribimos la matriz correspondiente

[■(2&5&8 | 11 @1&4&7 | 10@3&6&12| 15)]
Paso 2 Intercambiamos las dos
primeras ecuaciones
x + 4 y + 7 z =10
2 x + 5 y + 8 z = 11
3 x + 6y + 12 z = 11 Paso 2 Intercambiamos las dos primera filas
[■(1&4&7 | 10 @2&5&8 | 11@3&6&12| 15)]
Paso 3 Le restamos 2 veces la primera
ecuación a la segunda y 3 veces a la tercera
x + 4 y + 7 z = 10
- 3 y - 6 z = -9- 6 y - 9 z = -15 Paso 3 Le restamos 2 veces la primera
fila a la segunda y 3 veces a la tercera
[■(1&4& 7 | 10 @0&-3&-6 | -9@0&-6& -9 | -15)]

Paso 4 Multiplicamos la segunda
ecuación por – 1/3
x + 4 y + 7 z = 10y + 2 z = 3
- 6 y - 9 z = -15 Paso 4 Multiplicamos la segunda
fila por – 1/3
[■(1&4& 7 | 10 @0&1&2| 3@0&-6& -9 | -15)]
Paso 5 Le sumamos 6 veces la segunda
ecuación a la tercera.
x + 4 y + 7 z = 10...