Álgebra Lineal

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Tabla de contenidos

Capítulo A. Álgebra lineal A-1
Capítulo B. Conceptos básicos B-2
Capítulo C. Contexto general C-5
Capítulo D. Espacio Vectorial D-7
i. Espacio euclidiano o Espacio vectorial D-7
ii. Espacios Vectoriales D-8
iii. Sub espacio vectorial D-10
iv. Conjuntos Generadores D-11
v. Base y Dimensión D-13
vi. Rango de una matriz y sistema deecuaciones lineales D-15
vii. Coordenadas y cambio de base: D-18
viii. Aplicación de los espacios vectoriales D-18
Capítulo E. Generalización y temas relacionados E-21
Índice 22

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Álgebra lineal

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, ytransformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó loscuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre.

Conceptos básicos

Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones.
Representación gráfica de la suma de dosvectores en R2

Los objetos básicos de estudio son las n-adas ordenadas de números reales que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma el espacio vectorial .
Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio y (6,-1, 0, 2,4) es un elemento de. En particular, corresponde a un plano cartesiano y es el espacio euclideano provisto de unsistema de coordenadas.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
Para sumar dos vectores en, se suman las coordenadas en posiciones correspondientes:

Ejemplo: La suma de (3,-1, 5) con (2, 4,0) es (3+2, -1+4, 5+0)= (5, 3,5).
Esta operación puede interpretarse gráficamente como trasladar uno de losvectores sumados para que "inicie" al final del otro. Esta regla suele llamarse también regla del paralelogramo por la figura que aparece en el diagrama.
La segunda operación básica es el producto por un escalar, que en este ejemplo corresponde a multiplicar un número real (un escalar) por un vector, y está dado por la regla:

La interpretación gráfica del producto por escalar es unacontracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar) junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo).
Las funciones T entre los espacios vectoriales descritos de interés para el álgebra lineal son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes para todo par de vectores u, v y todo escalar r:

Las funciones que cumplen las condiciones anteriores sedenominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a matrices de números reales.
Específicamente, las transformaciones lineales entre y son las matrices de tamaño
Nota: En álgebra lineal suelen representarse los vectores en forma vertical en vez de horizontal, de modo que las transformaciones lineales correspondan a multiplicar matrices.
El álgebra linealestudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u, v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.

Contexto general

De manera más formal, el álgebra lineal estudia...