álgebra lineal

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Din´
amica de una part´ıcula

Este es el cap´ıtulo central de la mec´anica. En el cap´ıtulo anterior aprendimos
a describir el movimiento de una part´ıcula. Ahora analizaremos las causas del
movimiento. El marco apropiado lo constituyen las Leyes de Newton que fueron
postuladas por Isaac Newton (1642–1727) en el Principia en 1687 [6]. Para poder
discutir el movimiento de sistemascomplejos es necesario comenzar haciendo algunas idealizaciones y abstracciones. De partida consideraremos el movimiento
de part´ıculas puntuales. Esto es simplemente una idealizaci´on de cuerpos u objetos cuyas dimensiones geom´etricas son peque˜
nas comparadas con distancias
caracter´ısticas del movimiento (ver la Introducci´on al Cap´ıtulo 1: Cinem´atica).
Tal como lo hicimos anteriormente, laposici´on de cada part´ıcula con respecto
a un origen fijo est´
a determinada por su vector posici´on r(t). Adem´as a cada
part´ıcula puntual le asociaremos una cantidad real positiva m que denominaremos la masa de la part´ıcula. Como consecuencia de la tercera ley de Newton que
veremos m´as adelante veremos como medir la masa de una part´ıcula. Dada la
masa de la part´ıcula y su velocidad v= dr/dt, definiremos el momentum lineal
p(t) de la part´ıcula como el producto mv(t).
Las part´ıculas hacen movimientos interesantes debido a su interacci´
on con
otras part´ıculas (o con el resto del mundo). Una part´ıcula que no interact´
ua
con otras part´ıculas o que no sufre la acci´on del medio que la rodea va a realizar
movimientos triviales. La interacci´
on de las part´ıculasentre s´ı, o con el medio
externo se manifiesta a trav´es de lo que se denominan fuerzas. La naturaleza de
las fuerzas se determina por su efecto sobre las part´ıculas, el cual va a quedar
determinado por la segunda ley de Newton. Existe una gran variedad de interacciones entre part´ıculas. Unas pocas de ellas son de caracter fundamental
(como la gravedad, o las leyes de interacci´
on el´ectricay magn´etica, etc.) El
resto se deriva de las anteriores mediante an´alisis relativamente complejos. En
este curso haremos modelos idealizados y simples de estas fuerzas derivadas.
Como hemos dicho anteriormente, la acci´on de una part´ıcula sobre otra se manifiesta a trav´es de una fuerza, que es una cantidad vectorial y que t´ıpicamente
denotaremos por F . Con todos estos antecedentespreliminares podemos ir de
inmediato a los postulados de Newton.
Primera Ley de Newton: Todo cuerpo contin´
ua en su estado de reposo, o de
movimiento uniforme y rectil´ıneo, a menos que sea obligado a cambiar ese estado
debido a fuerzas que act´
uan sobre ´el.
Segunda Ley de Newton: La variaci´on del momentum de un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada sobre ´el, i.e.,
dp
= F.
dt

(1)Adem´as, si sobre un cuerpo act´
uan varias fuerzas, la fuerza neta que act´
ua sobre
´el es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas.
Tercera Ley de Newton [Ley de Acci´on y Reacci´
on]: Las interacciones m´
utuas
que ejercen dos cuerpos entre s´ı son de la misma magnitud y de sentido contrario.
Comentarios: Estos tres postulados de Newton no son v´alidos en sistemas de
referenciacualquiera. S´
olo son v´alidos en los que se denominan sistemas de
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referencias inerciales que en realidad constrituyen una clase de equivalencia de
sistemas que se mueven unos relativos a otros con velocidad uniforme. En aquellos sistemas que aceleran con respecto a cualquiera de estos sistemas inerciales
las leyes de Newton deben ser corregidas. La Primera Ley, que tambi´en se
conocecomo Principio de Relatividad de Galileo, es m´as bien una definici´on de
los sitemas de referencia inerciales. La segunda Ley expresa el resultado de la
acci´on de las fuerzas sobre el movimiento de los cuerpos. Es parte importante
de esta ley la composici´on vectorial de las fuerzas. Por u
´ltimo, la tercera ley de
Newton combinada con la segunda proporciona un m´etodo para medir la masa...