Álgebra/Numeros Complejos

Práctica 1. Números Complejos
Para trabajar con números complejos vamos a definir algunas funciones auxiliares que nos serán de utilidad. En primer lugar hemos de recordar que el argumento de las funciones trigonométricas seno y coseno debe ir en radianes, por lo que si el valor con el que trabajamos viene expresado en grados deberemos pasarlo a radianes. Así, para calcular el seno del ángulo de30 grados no debemos escribir Sin[30], ya que obtendríamos el seno del ángulo de 30 radianes, sino Sin[30 * Pi/180]. Mathematica tiene implementada la constante Degree =
Sin 30 0.988032 Sin 30 Degree 1 2 Sin 30 1 2 Pi 180 Seno del ángulo de 30 grados sexagesimales N
Π , 180

de modo que podemos calcular Sin[30 Degree].

Seno del ángulo de 30 radianes

Dicho esto, definimos en primer lugaruna función argumento modificada, ya que la función Arg[ ] de Mathematica devuelve el argumento entre -Π y Π, mientras que nosotros lo consideramos entre 0 y 2Π.
argum z_ : If Arg z 0, Arg z 2 Pi, Arg z

Posteriormente definimos funciones para obtener la forma polar a partir de la binómica y para obtener la forma binómica a partir de la polar de un número complejo.
carte z_ polar z_ : : Re z, Im z Abs z , argum z : r Cos a r Da las partes real e imaginaria de z La forma polar, usando el argumento modificado Sin a I Forma binómica a partir de la polar

binom r_, a_

Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1. Dados los números complejos z 3 y w 4 4 , a. Calcula la parte real e imaginaria de los complejos 2 z b. Calcula la forma polar de los complejos dados. c. Comprueba que z w d.Determina z,
3 3

w y 2z

3 w.

z w , donde z es el conjugado de z. w, w3 . ¿Porqué se verifica que w
3

z3 ,

w3 ?

Solución a. Hacemos
z Sqrt 3 I; w 4 4 I;

y ya están definidos los complejos de trabajo. Ahora,

2

01 - Numeros Complejos.nb

y ya están definidos los complejos de trabajo. Ahora,
carte 2 z carte 2 z 4 12 2 2 w 3w

3 ,2 3 , 14

da vectores con las partes real eimaginaria de los complejos pedidos, que son
Expand 2 z Expand 2 z 4 12 2 14 2 2 w 3w 3 3

Podemos presentar estos complejos en pantalla de una manera más clásica, utilizando la orden Print[ ]. Hay que hacerlo con cuidado para que se impriman bien los signos de las partes real e imaginaria.
Print "2z w 2z w 4 2 3 2 ", carte 2 z 3w 1 , "", carte 2 z 3w 2 " " ", carte 2 z w 1 , " ", carte 2 z w2 " "

Print "2z 3w 2z 3w 12 2 3 14

La forma polar de z y la de w se obtienen también directamente, haciendo
polar z polar w 11 Π 2, 6 3Π 4 2 , 4

Para comprobar la igualdad propuesta en el tercer apartado, podemos calcular
z Conjugate w Conjugate Conjugate z 4 4 4 4 3 3

w

y comparar los resultados, o bien evaluar la igualdad
z Conjugate w Conjugate Conjugate z w

True

Porúltimo, evaluamos las expresiones z, z3 y

3

z3 por un lado

01 - Numeros Complejos.nb

3

z Expand z ^ 3
3

z^3 3 8 3

y vemos que z

3

z3 , mientras que al evaluar

w, w3 y

3

w3 resultan valores distintos, w

3

w3 .

w Expand w ^ 3
3

w^3
3

w^3 4 128 4 2 4 128 2

N

1 3

5.4641

1.4641

Eso es porque todo número complejo tiene tres raícescúbicas, y en este caso obtenemos una de ellas, la de menor argumento, que no coincide con w. Para obtener las tres raíces debemos resolver la ecuación x^3 = w^3.
w^3 128 128 128 2
1 3

Solve x ^ 3 x 4

128 I, x 1
1 3

, x

4 2

2

1 3

, x

4

1

2 3

2

2

1 3

NSolve x ^ 3 x 4. 4.

128

128 I, x 1.4641 5.4641 , x 5.4641 1.4641

, x

O bien
Reduce x ^ 3 x 4 4 128x 128 x 2 128 I, x 1 128 I, x 1.4641 1 N 5.4641 x 5.4641 1.4641
1 4

6

x

2

1

1

1 4

6

Reduce x ^ 3 x 4. 4.

Podemos representar los complejos, en forma cartesiana, con la instrucción ListPlot[ ]. Vemos que las raíces cúbicas de un complejo cualquiera forman un triángulo equilátero. Para 128 + 128 se tiene:
v1 x v2 NSolve x ^ 3 4. x . v1 4. v3 4. , 4. 128 , x 128 I, x...