Álgebra vectorial

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Vectores, Rectas y Planos
M.Sc. Walter Mora F., M.Sc. Geovanni Figueroa M.

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

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Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

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Cr´ditos e Edici´n y composici´n: Walter Mora F. o o Gr´ficos: Walter Mora F. a

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Contenido
1.1Geometr´ vectorial . . . . . . . . ıa 1.1.1 Introduci´n . . . . . . . . o 1.1.2 Vectores . . . . . . . . . . 1.1.3 Notaci´n . . . . . . . . . o 1.1.4 Operaciones B´sicas . . . a 1.1.5 Producto punto y norma . Rectas y Planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 4 . 4 . 4 . 5 . 9 . 23

1.2

3

4

1.1
1.1.1Geometr´ vectorial ıa
Introduci´n o

Los vectores, que eran utilizados en m´canica en la composici´n de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo e o XVII, no tuvieron repercusi´n entre los matem´ticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa impl´ o a ıcitamente la suma vectorial en la representaci´n geom´trica de los n´meros complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla o e u sus“equipolencias”, un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equivale al c´lculo vectorial de hoy. a El paso siguiente lo da Hamilton, quien inicia el estudio de los vectores. Se le debe a ´l el nombre de ‘vector’ e producto de la creaci´n de un sistema de n´meros complejos de cuatro unidades, denominado “cuaterniones”, o u muy usados hoy en d´ para el trabajo con rotaciones de objetos en elespacio 3D. Actualmente, casi todas las ıa ´reas de la f´ a ısica son representadas por medio del lenguaje de los vectores. En este tema, estudiaremos los vectores en Rn , las operaciones y sus propiedades. Adem´s de algunos ejemplos, a se desarrollan actividades interactivas en 3D (en la versi´n en internet) para facilitar la apropiaci´n de los o o conceptos estudiados.

1.1.2

Vectores

Apartir de la representaci´n de R, como una recta num´rica, los elementos (a, b) ∈ R2 se asocian con puntos o e de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la intersecc´n representa a (0, 0) y cada (a, b) se asocia con un punto de coordenada a en o la recta horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y).

Figura 1.1: Punto (a, b) Anal´gamente, los elementos (a, b, c) ∈ R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres o rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z). Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 y en R3 . La direcci´n o de la flecha indicala direcci´n del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud. o

1.1.3

Notaci´n o

→ → − Los vectores se denotar´n con letras min´sculas con un flecha arriba tales como − , − , →. Los puntos se a u v y z denotar´n con letras may´sculas tales como A, B, C. En el contexto de los vectores, los n´meros reales ser´n a u u a

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Figura 1.2: Punto (a, b, c)

Figura 1.3: Vector (a,b) Figura 1.4: Vector (a, b, c) llamados escalares y se denotar´n con letras min´sculas cursivas tales como α, β, k. a u → • Si el punto inicial de un vector − es A y el punto final es B, entonces v − → →=− − v AB − → El vector nulo se denota con 0 = (0, 0, · · · , 0) Para las subsecciones que siguen y con el af´n de generalizar, estudiaremos las propiedades de los vectores en el a Rn . Un...