Ángulos

´
Angulos
y Congruencia de Tri´
angulos
Laura Vielma
Enero 2011

´
Angulos
´
Angulo
es la figura formada por dos rayos que tienen el mismo origen. Los dos
rayos son los lados del ´
angulo y el origen com´
un es el v´ertice.
−−→ −→
Para el gr´
afico adjunto, AB y AC son los lados y A es el v´ertice del ´angulo.
Se utiliza la siguiente notaci´
on para el ´
angulo mostrado, dondesiempre la letra del
v´ertice se encuentra en el medio: B AC, C AB, ∠BAC, ∠CAB. A veces se utiliza
u
´nicamente el v´ertice del ´
angulo para denotarlo, como por ejemplo, Aˆ o ∠A pero
esto no es muy recomendable porque puede generar confusi´on dependiendo el tipo
de problema que se tenga. En esta gu´ıa se trabajar´a con ∠ABC.

ÕÕ

Clasificaci´
on de ´
angulos
Se clasifican los ´angulos de acuerdo a su medida o a su posici´on con relaci´on a otros.
1. Por su medida: pueden ser nulo, llano o rectil´ıneo, recto, agudo, obtuso, convexo, c´oncavo y de una vuelta.
´
Angulo
nulo: mide 0◦ . Sus lados son dos rayos coincidentes.

´
Angulo
llano o rectil´ıneo: mide 180◦ . Sus lados son dos rayos opuestos.

−−→ −→
´
Angulo
recto: mide la mitad de un a´ngulo llano, 90◦ .Decimos que BA y CA son perpendiculares y escribimos
−−→ −−→
BA ⊥ BC.

´
Angulo
agudo: todo aquel que mide m´as de 0◦ y menos de 90◦ .
´
Angulo
obtuso: todo aquel que mide m´as de 90◦ y menos de 180◦ .
´
Angulo
convexo: cuya medida est´
a comprendida entre 0◦ y 180◦ .
´
Angulo
c´
oncavo: si mide m´
as de 180◦ y menos de 360◦ .
´
Angulo
de una vuelta: se genera al girar un rayo,una vuelta completa alrededor de su origen. Mide 360◦ .
2. Por su posici´
on: se clasifica en consecutivos, adyacentes y opuestos por el v´ertice.
´
Angulos
consecutivos: dos ´
angulos son consecutivos si tienen el mismo v´ertice, un lado com´
un y los otros
lados en regiones distintas del com´
un. Tres o m´as ´angulos son consecutivos, si cada uno es consecutivo con
su inmediato.

Eneste caso, ∠COB es consecutivo del ∠BOD y ∠EP F, ∠F P G, ∠GP H son tres ´angulos consecutivos.

´
Angulos
adyacentes: denominado tambi´en, par lineal, son dos ´angulos consecutivos cuyas medidas suman
180◦ .
´
Angulos
sumplementarios: son dos ´angulos cuyas medidas suman 180◦ .
´
Angulos
complementarios: dos ´
angulos se llaman complementarios si sus medidas suman 90◦ .
´
Angulosopuestos por el v´ertice: son dos ´angulos, cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos.

´
Angulos
congruentes: Dos ´
angulos son congruentes si tienen igual medida. Usamos el s´ımbolo ∼
= para decir
que los ´
angulos son congruentes y usamos el s´ımbolo = para decir que la medida de los ´angulos son iguales.

Teoremas
1. Los ´
angulos opuestos por el v´ertice son congruentes.Demostraci´
on:
El ∠CEA y el ∠AED forman un par lineal. De la misma forma, el ∠AED y el ∠DEB. Por tanto, se tiene que
∠CEA + ∠AED = 180◦ y ∠AED + ∠DEB = 180◦ . Restando miembro a miembro, se obtiene que ∠CEA −
∠DEB = 0◦ por lo que, ∠CEA = ∠DEB y entonces ∠CEA ∼
= ∠DEB.
2. Todo ´
angulo agudo tiene complemento y suplemento.
Demostraci´
on:
Un ´
angulo agudo mide menos de 90◦ , sea sumedida a. Por tanto, tiene un complemento cuya medida es 90 − a.
De igual forma, la medida de su ´
angulo sumada con la de un ´angulo obtuso cuya medida es 180 − a es 180◦ , por
ello, tambi´en tiene un suplemento.
3. Los ´
angulos obtusos tienen s´
olo suplemento.
Demostraci´
on:
Un ´
angulo obtuso mide m´
as de 90◦ , por tanto, como la medida de un ´angulo es un n´
umero positivo no puedetener complemento pero tiene un suplemento como en el caso anterior.
4. Los complementos de dos ´
angulos congruentes, son congruentes.
Demostraci´
on:

Sea la medida de ∠BAC = α y ∠EDF = β. Entonces, α = β ya que los ´angulos son congruentes seg´
un hip´
otesis.
De igual forma, α y β miden menos de 90◦ para poder tener complemento. Entonces el complemento de ∠BAC
mide γ = 90◦ − α....