Área bajo la curva
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a
´
Areas entre curvas
Ejercicios resueltos
Recordemos que el ´rea encerrada por las gr´ficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada
a
a
por
b
|f (x) − g (x)| dx
a
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1: Hallar el ´rea A limitada por la par´bola y = 4 − x2 y el eje X.
a
a
Soluci´n:Hallamos los puntos de intersecci´n de la curva
o
o
con el eje X, recordemos que el eje X corresponde a la recta
y = 0 se sigue que
4
f (x)=4−x2
3
y
=
4 − x2
2
y
=
0
1
tiene soluciones x = ±2, note adem´s que f (x) = 4−x2 ≥ 0
a
en [−2, 2] de donde obtenemos (ver figura 1)
2
2
4 − x2 − 0 dx =
A=
−2
4 − x2 dx =
−2
−4
−3
−2
−1
0
12
3
−1
32
3
−2
Figura 1
Ejercicio 2: Hallar el ´rea de la regi´n encerrada por las curvas y = 10x − x2 y y = 3x − 8.
a
o
Soluci´n: Graficamos ambas funciones. Busquemos los puntos
o
de intersecci´n de ambas gr´ficas, es decir, resolvamos el sistema
o
a
25
20
15
y
=
10x − x2
10
y
=
3x − 8
esto nos lleva a la ecuaci´n 3x − 8 = 10x − x2 la quetiene por
o
soluci´n x = 8, x = −1. Note que en x = 0 la ecuaci´n
o
o
5
0
−5
5
10
y = 10x − x2
−5
−10
da y = 0 y y = 3x − 8 entrega y = −8, por continuidad se sigue
que
10x − x2 ≥ 3x − 8 en [−1, 8]
−15
Figura 2
as´ podemos calcular el ´rea
ı
a
8
8
10x − x2 − (3x − 8) dx =
−1
MAT022
10x − x2 − (3x − 8) dx =
−1
1
243
2
N. C. F./A. A. M.Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a
Ejercicio 3: Hallar el ´rea encerrada por la gr´fica de las curva y = x2 − 8x + 10, el eje X, y las rectas x = 2
a
a
y x = 5.
Soluci´n: Notemos que x2 − 8x + 10 tiene por gr´fica una
o
a
par´bola, adem´s
a
a
x2 − 8x + 10 = 0 ⇔ x − 4 −
√
x− 4+
6
√
6
0
=0
2
6
−4
−6
5x2 − 8x + 10 − 0 =
4
−2
se sigue que x2 − 8x + 10 ≤ 0 entre las ra´
ıces, en particular, en el
intervalo [2, 5] es negativa. El ´rea buscada es entonces
a
5
2
− x2 − 8x + 10 dx = 15
2
Figura 3
Ejercicio 4: Hallar el ´rea A encerrada por las curvas y = sin x, y = cos x entre las rectas x = 0 y x = π.
a
1
Soluci´n: Buscamos las intersecciones de las curvas y =
osin x, y = cos x en el intervalo [0, π], esto nos lleva a buscar
las soluciones de sin x = cos x, as´ x = π/4. En 0, π
ı
4
cos x ≥ sin x y en π , π se cumple sin x ≥ cos x as´
ı
4
0.5
−0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
π
π/4
|sin x − cos x| dx
0
−0.5
(cos x − sin x) dx
=
0
0
π
(sin x − cos x) dx
+
−1
=
−1.5
√
π/4
2−1 +
√
√2+1 =2 2
Figura 4
Ejercicio 5: Hallar el ´rea encerrada entre las curvas 8y = x3 y
a
8y = 2x3 + x2 − 2x
Soluci´n: Buscamos los puntos de intersecci´n de las curo
o
vas, es decir, resolvemos el sistema
8y
=
x3
8y
=
2x3 + x2 − 2x
0.5
−2.5
2x3 + x2 − 2x = x3
−2
−1.5
−1
−0.5
0.5
1
0
entonces
−0.5
⇔
x3 + x2 − 2x = 0
−1
⇔ x (x − 1)(x + 2) = 0
−1.5
se sigue que las curvas intersectan en x = 0, x = 1, x = −2,
adem´s de forma anal´
a
ıtica podemos determinar cual de las
curvas se encuentra arriba y en que intervalo
MAT022
2
Figura 5
N. C. F./A. A. M.
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a
En efecto
2x3 + x2 − 2x ≥ x3 ⇔ x (x − 1) (x + 2) ≥ 0
luego utilizando latabla
x
x−1
x+2
x (x − 1) (x + 2)
−
−
−
−
−
−
−
−
−2
−
−
0
0
−
−
+
+
−
−
+
+
0
0
−
+
0
+
−
+
−
1
+
0
+
0
+
−
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
2x3 + x2 − 2x
x3
−
8
8
dx
obtenemos que en el intervalo [−2, 1] se cumple
2x3 + x2 − 2x
x3
≥
8
8
si y solo si x ∈ [−2, 0], as´
ı
1
2x3 + x2 − 2x
x3
dx
−
8
8
−2...
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