Área de regiones sombreadas

TRILCE

Capítulo

ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS

20

Ejemplo Nº 1
Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O" es centro, entonces el área de la región sombreada es:
4m
C
C
B
B
R
Resolución :

Por traslado
de regiones
sombreadas

O
A

4m

R
O
S

S

A

D

D

Así tenemos que el área de la región sombreada es un triángulo, que es igual a la cuarta parte delcuadrado.
2

S

somb



2
 4  4m
4
4

Ejemplo Nº 2
Si ABCD es un cuadrado de 6m de lado y además "M" es punto medio, calcular el área de la región sombreada.
C
B

A

M

D

Resolución: No olvidar:

B

B

S

S

S
A

BM : Mediana relativa
a AC

M

S

A

C

S S
G

G : Baricentro de
 ABC
S

S

C

Área Ssomb = Área  ABC

Área  ABM = Área BCM

6

Del ejemplo tenemos:

C

B
3S
S

3S
S
A

S
S
M

2

S

Ssomb 

12



6
2
 3m
12

S
D

229

Raz. Matemático

Ejemplo Nº 3
ABC es un triángulo de 24 m2 de área. Calcular el área de la región sombreada.
B

2b

N

P
b
A

3a

C

a

M

Resolución: No olvidar

Del ejemplo tenemos:
B

Q

2S

N

4S

4a

T

a

A

RS

S

QTR



S

BCM



S

S

total

S

Ejemplo Nº 4

B

 3m

2

2

2

S

somb



S

total  10  6  30 m 2

2

2

C
6m

A

D

10 m

C

M

P

R
R

S

10 m

Área
S

total

S

= b h

 2(S  R  P  M)

somb

Ejemplo Nº 5
Sabiendo que el lado del cuadrado ABCD mide 4 m y que
M y N son puntos medios,calcular el área de la región
sombreada.

B

M

C

P

M
S

230

C

Luego:

Sabiendo que ABCD es un rectángulo, calcular el área de la
región sombreada.

A

a

M

3

 8 S  24 m

somb

b 2S

ABM  2S

PQT

4

P

3a

S  3m

Resolución:
B

S

3S

S
P

2b

 SRPM

6m

N

D
A

D

TRILCE

Resolución:
2m

2m M

B

C

RS

2m

4m

Ejemplo Nº 7
Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un
cuadrado de 10 m de lado, y además M, N, P y R son puntos
medios.

N

D

4m

M

S = Triángulo rectángulo (cuarta parte del cuadrado ABCD)
R = Sector circular (cuarta parte de un círculo)

S

somb

S

= r2



 2(

C

2m

S
A

N

B

)

4

2
 4  2   2

= 4 2
4
 2 
= 16  8  
= 8

P

A

D

R

Resolución:

2

S
S
S

Ejemplo Nº 6
Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un
cuadrado de 8 m de lado.
C
B

S
S

S
S
S

Al hacer traslado de regiones, la figura cuadrada de
10 2  100 m 2 de área se transforma en una cruz griega,

dividida esta en 5 cuadritos congruentes.
A

D

S somb 

S total
5

100 m 2
 20 m 2
5

Resolución:
8

B
S

8

C

60°

S

8

8

30°

8

Obs. 1: Cuando se intersecta una diagonal y una mediana
1
el triángulo más pequeño que se forma es
del total.
12
C
B

30°

T

60°

60°
D
8
S = Sector circular (doceava parte del círculo).
T = Triángulo equilátero.
A

2

S

equilátero

Ssomb=
8 8
2



L

A

D3

4

2S

Obs. 2: Cuando se intersecta dos medianas, el triángulo
más pequeño que se forma es un
B

1
del total.
20
C

2

2
3  2 8 


4
 12 

 64  16 3  32
3

2 
 16 4  3 

3 


A

D

231

Raz. Matemático

Ejemplo Nº 8
Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O"
es centro del cuadrado.
Calcular el áreade la región sombreada.

Resolución:

C

B

C

B

R
4R
R

O

A

2

2

D

Por Pitágoras:
A

D

Resolución:

4R
2

C

B

16  R 2  8 R  R 2  4
12 = 8R
3 R
2

R
4m

2

R
A

S
D

4m

Del gráfico:

2R  4 2

somb

= 2

C


2


A

 2  4 2  (2 2 )2
 32  8 

 8(4  )m

B

P
D
Resolución:

C

C

A...