Árticulo

1

SPLINES: CURVAS
INTRODUCCION AL DIBUJO DE CURVAS DE APROXIMACION E INTERPOLACION POR COMPUTADOR
Yeimy Duarte, Manuel Medina, EISI - UIS


condiciones especificas de continuidad en la frontera de cada intervalo.
I. INTRODUCCIÓN

Existen varias clases de especificaciones de splines que se usan en las aplicaciones graficas. Cada especificación difiere DIBUJO DE CURVAS DE del resto enel polinomio particular que utiliza junto con las ,QURGXFFLyQ DO LQWHUSRODFLyQ APROXIMACION E GLEXMR GH FXUYDV GH DSUR[LPDFLyQGalvis (o condicionesSRU extremos) que INTERPOLACION Medina, Yeimy Hfrontera condiciones de de FRPSXWDGRU_Manuel POR COMPUTADOR requiere. La dimensión que alcanza el trabajo con curvas en el mundo de los computadores es enorme. Todos los programas de dibujo vectorialsoportan el trabajo con varios tipos de curvas de interpolación (y aproximación) como pueden ser los Splines, B-Splines, curvas de Bézier, incluso algunos programas comerciales típicos de diseños con imágenes de mapas de pixeles (como photoshop), están incluyendo en sus últimas versiones herramientas para el trabajo con este tipo de curvas. A nivel industrial desde hace años se trabaja con curvasSplines y B- Splines.los videojuegos y en el mundo de la DemoScene se aplican curvas de estas, el cálculo de la posición de las cámaras que captan la escena y la elaboración de algunos efectos en Demos (deformaciones sobre todo) se consiguen aplicando algoritmos de generación de Splines. Recordemos que una función polinómica de n-èsimo grado se define como:

Dado un conjunto de puntos, podemosajustar una curva que pase por ellos. Se construye una sección curva (con un polinomio cubico) entre cada par de puntos dado. Así, cada sección de curva se define como:

II. REPRESENTACIÓN DE SPLINE Hace años en dibujo técnico, una splines era una banda flexible de madera que se utilizaba para hacer pasar una curva por un conjunto de puntos. Para ello el delineante coloreaba una serie de pesossobre esta y trazaba luego la curva deseada. Esa curva obtenida podemos expresarla de forma matemática con una función poli nómica cubica cuyas primera y segunda derivada son continuas a través de distintas secciones de la curva. En la jerga del diseño asistido por computador, el termino se refiere a cualquier curva compuesta que se forma con secciones polinómicas que satisfacen ciertas Donde uvaría entre 0 y 1. Los valores de u se determinan según las condiciones de frontera en las secciones curvas. *Dos secciones de curva adyacentes deben tener igual coordenada en los extremos.

2 *Tendremos que adaptar la pendiente de cada par de curva adyacente para obtener una curva global (formada por la unión de varias secciones de curva) continua y suave.

III. INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN DESPLINES Especificamos una curva splines al proporcionar un conjunto de puntos (que será una serie de coordenadas) a los que le denominaremos puntos de control. Estos puntos de control se ajustaran después con funciones polinómicas continúas de una de las siguientes maneras:
a) La curva realiza interpolación del conjunto de puntos de control cuando las secciones polinómicas se ajustan de modo quela curva pasa a través de cada punto de control. La curva realiza una aproximación al conjunto de puntos de control cuando los polinomios se ajustan a la trayectoria general del punto de control sin pasar necesidades a través de ningún punto de control.

Mediante el polinomio de lagrange y también mediante splines cubicas naturales. En la figura3, podemos observar los resultados delexperimento. En la zona superior están las graficas resultantes de lagrange y en la zona inferior los resultantes de splines. La grafica punteada es la exacta a la función original. Centremos el polinomio de lagrange; con cuatro puntos del polinomio conseguido es de tercer grado (la aproximación es mala; únicamente se limita a pasar por los puntos).

b)

Una curva splines se define y se modifica con...