Çcalculo combinatoria
Páginas: 5 (1237 palabras)
Publicado: 10 de noviembre de 2010
Cálculo Combinatorio
□ Número factorial
El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n!, y se lee "n factorial". (Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1)
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:
[pic]
Sedefine 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.
[pic]
Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a+ b)n:
La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden.
Ejemplos:
10! : 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10: 3, 628,800
15! : 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15: 1307674368000
9! : 1*2*3*4*5*6*7*8*9: 362880
8!: 1*2*3*4*5*6*7*8: 40320
13! 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13: 6227020800
□ Permutación
Permutaciones o, también llamadas,ordenaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
• Influye el orden en que se colocan.
• Tomamos todos los elementos de que se disponen.
• Serán Permutaciones SIN repetición cuando todos los elementos de que disponemos son distintos.
• Serán Permutaciones CON repetición si disponemos de elementos repetidos. (Ese es el nº de vacesque se repite elemento en cuestión).
Permutaciones sin repetición
Obtención de fórmula de permutaciones.
Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.
¿Cuántas maneras han de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?
Solución:
Haciendo uso del principiomultiplicativo,
14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso
Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posiblespara el cuarto lugar.
Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.
14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1)
si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces
= n x (n –1 ) x (n – 2) x .........x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!
= n!/ (n – r)!
Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:
[pic]
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, ademáshay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.
Entonces, ¿qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?
Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.
nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!
Como 0! = 1 de acuerdo a demostraciónmatemática, entonces
nPn= n!
Ejemplos
1.- ¿Cuántas maneras hay de asignar los 5 primeros lugares de un concurso de belleza si consta de 15 participantes?
Solución:
Por principio multiplicativo:
15*14*13*12*11: 360360
Por Fórmula:
N: 15 r:5
15P5 : 15! / (15-5)!: 15!/10! : (15*1*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) /...
□ Número factorial
El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n!, y se lee "n factorial". (Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1)
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:
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Sedefine 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.
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Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a+ b)n:
La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden.
Ejemplos:
10! : 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10: 3, 628,800
15! : 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15: 1307674368000
9! : 1*2*3*4*5*6*7*8*9: 362880
8!: 1*2*3*4*5*6*7*8: 40320
13! 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13: 6227020800
□ Permutación
Permutaciones o, también llamadas,ordenaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
• Influye el orden en que se colocan.
• Tomamos todos los elementos de que se disponen.
• Serán Permutaciones SIN repetición cuando todos los elementos de que disponemos son distintos.
• Serán Permutaciones CON repetición si disponemos de elementos repetidos. (Ese es el nº de vacesque se repite elemento en cuestión).
Permutaciones sin repetición
Obtención de fórmula de permutaciones.
Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.
¿Cuántas maneras han de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?
Solución:
Haciendo uso del principiomultiplicativo,
14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso
Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posiblespara el cuarto lugar.
Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.
14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1)
si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces
= n x (n –1 ) x (n – 2) x .........x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!
= n!/ (n – r)!
Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:
[pic]
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, ademáshay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.
Entonces, ¿qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?
Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.
nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!
Como 0! = 1 de acuerdo a demostraciónmatemática, entonces
nPn= n!
Ejemplos
1.- ¿Cuántas maneras hay de asignar los 5 primeros lugares de un concurso de belleza si consta de 15 participantes?
Solución:
Por principio multiplicativo:
15*14*13*12*11: 360360
Por Fórmula:
N: 15 r:5
15P5 : 15! / (15-5)!: 15!/10! : (15*1*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) /...
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