“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES”

Universidad Mayor de San Andrés
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil
Ecuaciones Diferenciales - MAT 207


Trabajo de investigación:
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES”

1. Método de Euler.-

La primera derivada proporciona una aproximación directa a la pendiente en y :

donde es la ecuación diferencia evaluada en y . Esta aproximación resulta:

(1)A esta fórmula se la conoce como método de Euler (o método de Euler-Cauchy o de pendiente puntual). Se predice un nuevo valor de usando la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original ) para extrapolar linealmente sobre el tamaño de paso .
























2. Método de Heun.-

Un método para mejorar la aproximación a la pendiente implica elcálculo de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y la otra en el punto final. En seguida se promedian las dos derivadas y se obtiene una aproximación mejorada de la pendiente en el intervalo completo. Este esquema, llamado método de Heun, se muestra gráficamente en la figura:






















En el método de Heun esun esquema predictor – corrector.

Predictor: (2.a)


Corrector: (2.b)

3. Método mejorado del polígono (Euler modificado).-

El metodo poligono mejorado (o Euler modificado), usa el método de Euler para predecir un valor de en el punto medio del intervalo, utilizando diho valor en la aproximación de la pendiente en el punto medio, lo cual, se supone, representa una aproximaciónválida eb el intervalo completo. Esta pendiente se usa para extrapolar linealmente de a usando el método de Euler:

(3)




















4. Métodos de Runge – Kutta de segundo orden.-

La versión de segundo orden de la ecuación de RK (Runge – Kutta) es:



donde:




Ya que se puede escoger una cantidad infinita de valores de , existe un número infinito demétodos RK de segundo orden. A continuación se muestran tres de las versiones más comúnmente usadas y preferidas:

a) Método de Heun con un corrector simple con

(4.a)

donde:



b) Método mejorado del polígono con

(4.b)

donde:



c) Método de Ralston con

(4.c)

donde:






5. Método de Runge – Kutta de tercer orden.-

Se puede llevar a cabo unaderivación análoga a la del método de segundo orden, para . El resultado de esta de esta derivación es de seis ecuaciones con ocho incógnitas. Por lo tanto, se deben especificar a priori los valores de dos de las incógnitas para determinar los parámetros restantes. Una versión común que resulta es

(5)

donde:




6. Método de Runge – Kutta de cuarto orden.-

Los métodos RK más populares sonlos de cuarto orden. Como sucede con los métodos de segundo orden, existe un número infinito de versiones. El siguiente alguns veces se llama método clásico RK de cuarto orden:

(6)

donde

























Aplicación de métodos numéricos

Problema.-

Empléense los métodos numéricos anteriormente descritos para resolver:

con lascondiciones iniciales y paso sobre el intervalo de a . Mencione las observaciones que considere necesarias.

Solución.-

Antes de resolver el problema numéricamente, se puede efectuar el cálculo mediante la solución analítica siguiendo el proceso para resolver una ecuación de Ricatti, con las condiciones iniciales y :


Esta fórmula se utilizará para generar los valores verdaderos de .

i.Solución por el método de Euler.-




Error relativo porcentual

1,00
0,0000
0,0000
0,00
1,10
0,0842
0,1000
-18,76
1,20
0,1478
0,1669
-12,92
1,30
0,1998
0,2190
-9,61
1,40
0,2447
0,2630
-7,48
1,50
0,2850
0,3020
-5,96

ii. Solución por el método de Heun.-




(una iteración)
Error relativo porcentual

1,00
0,0000
0,0000
0,00
1,10
0,0842
0,0835
0,83...