Aplicación De La Derivada

GUÍA DE EJERCICIOS

1.

La distancia, medida en metros, de un objeto al suelo, como función del tiempo,
esta modelada por la siguiente función:

f (t ) = 15t

Donde t se mide en segundos
a) Calcule la rapidez instantánea a los tres segundos.
b) Calcule la rapidez instantánea a los diez segundos.
2. El espacio recorrido, en metros, de una partícula se expresa con la función:

f (t )= t 3 − 9t 2 + 24t
Donde t se mide en segundos.
a) ¿Cuál es la aceleración de la partícula a los 4 segundos?
b) ¿Cuál es la aceleración de la partícula a los 7 segundos?
3. El espacio recorrido, en metros, de una partícula se expresa con la función:

f (t ) = t 2 − 6t + 10
Donde t se mide en segundos.
a) ¿Cuál es la rapidez instantánea a los 5 segundos?
b) ¿Cuál es la rapidez instantáneaa los 12 segundos?
4. El espacio recorrido, en metros, de una partícula se expresa con la función:

f (t ) = t 3 − 6t 2
Donde t se mide en segundos.
a) ¿Cuál es la aceleración de la partícula a los 8 segundos?
b) ¿Cuál es la aceleración de la partícula a los 15 segundos?
5. Un fabricante de pinturas para autos advierte que el costo por semana de producir
x litros está dado por C ( x) =20.000 + 40 x euros y el ingreso por la venta de x
litros está dado por

I ( x) = 100 x − 0,01x 2 . Actualmente se producen 3.100 litros por

semana. Se está considerando la opción de producir 3.200 litros.
a) Calcule los incrementos del costo, del ingreso y de la utilidad.
b) Determine expresiones para el costo marginal, ingreso marginal y utilidad
marginal.

6. El costo total deproducción, en dólares, de x unidades diarias de un producto es de
C ( x) = 50 x + 22.000 y el precio de venta de una de ellas es p ( x) = 300 − 0,01x
dólares.
a) Calcule el incremento de las utilidades si la producción aumenta de 100 a
120 unidades.
b) ¿Cuál es el ingreso marginal de 100 artículos?
c) ¿Cuál es la utilidad marginal de 120 artículos?

1

7. En cada caso, determine los máximos ymínimos relativos de la función dada.
a)

f ( x) = x 2 − 4 x − 1

c)

f ( x) = x − 6 x − 15 x
3

b)
d)

2

f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x

f ( x) =

x5 4x3
−
5
3

8. Determine los extremos absolutos de la función dada en el intervalo indicado.

(

122
⋅x ⋅ x −2
2
x
b) f ( x ) = x ⋅ e

)

a)

f ( x) =

c)

f ( x) = 3 x + 8 x − 18 x
4

3

[− 2,3]

;

[0,2][− 4,2]

;
2

;

9. La concentración de un medicamento (en centímetros cúbicos) t horas después de
haber sido inyectado en el brazo de un paciente está dado por:

c(t ) =

0,15 ⋅ t
t + 0,81
2

a) ¿Cuándo ocurre la máxima concentración?
b) ¿Cuál es la máxima concentración del medicamento?
10.

Considere la función utilidad

U ( x) , definida por:

x2
U ( x) = x −
800Donde

x

representa el número de artículos producidos y

U ( x) está en dólares.

a) Determine la utilidad al vender 100 artículos.
b) Determine el número de artículos para que la utilidad sea máxima.

11.

El costo total (en miles de pesos) de pedido y almacenaje de

C ( x) = 2 x +

x

unidades es:

299.538
x

a) ¿Qué tamaño de pedido minimiza el costo total?
b) ¿Cuál esel costo total mínimo?

12.

Suponiendo que el porcentaje de alcohol presente en la sangre t horas después
de consumido está dado por:

C (t ) = 0,2 t e

−

t
2

a) ¿Cuándo ocurre el nivel máximo de alcohol en la sangre?
b) ¿Cuál es el nivel máximo de alcohol en la sangre?

13.

Determine dos números reales positivos, tales que su suma sea 50 y su producto
sea lo más grandeposible.

2

14.

Una página ha de contener 49 centímetros cuadrados de texto, márgenes de 1
centímetro por todas partes. ¿Qué dimensiones de la página requieren la mínima
cantidad de papel?

15.

Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una parte se
dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia.
Determine el largo de los dos trozos de...