ciensia

Contraste de Independencia entre Variables
Cualitativas
Francisco M. Oca˜
na Peinado

Grado en NHD. Grupos C y E

Francisco M. Oca˜
na Peinado

Contraste de Independencia entre Variables Cualitativas

Ejemplo I

Ejemplo: Sup´ongase que se desea estudiar la posible relaci´on entre
dos variables de tipo cualitativo (tipo de piel y el color de pelo) en
una poblaci´on. Para ello se extrae unamuestra de 100 individuos,
obteni´endose la tabla siguiente:
PIEL / PELO
OSCURA
CLARA
TOTAL

NEGRO
25
10
35

˜
CASTANO
25
15
40

RUBIO
10
15
25

TOTAL
60
40
100

El objetivo es decidir si las variables est´
an o no relacionadas.

Francisco M. Oca˜
na Peinado

Contraste de Independencia entre Variables Cualitativas

Definici´on Independencia I
Definici´
on: Se dice que dos variables cualitativas A y Bson
independientes cuando la proporci´
on de individuos de cada una de
las modalidades de la variable A es la misma para cada una de las
modalidades de la variable B.
En el ejemplo, si el color de pelo fuese independiente del color de la
piel, se deber´ıan esperar las siguientes proporciones:
De los 35 individuos de pelo negro: (60/100) deber´ıan tener la
piel oscura y por tanto (40/100) deber´ıantener la piel clara.
De los 40 individuos de pelo casta˜
no: el (60/100) deber´ıan
tener piel oscura y el (40/100) deber´ıan tener la piel clara.
De los 25 individuos con pelo rubio se esperar´ıa una
proporci´on del (60/100) con piel oscura y una proporci´on de
(40/100) con piel clara.

Francisco M. Oca˜
na Peinado

Contraste de Independencia entre Variables Cualitativas

Contraste IndependenciaI
La hip´otesis de independencia es la que interesa contrastar, o sea,
decidir si se rechaza o no. As´ı, se tendr´ıa que:

H0 : Independencia entre variables
H1 : No Independencia entre variables
Seg´
un esta suposici´on de independencia entre variables, es decir si
fuese cierta H0 , el n´
umero de individuos te´
orico en cada caso ser´ıa
el reflejado en la siguiente tabla:
PIEL / PELO
OSCURACLARA
TOTAL

NEGRO
21
14
35

˜
CASTANO
24
16
40

Francisco M. Oca˜
na Peinado

RUBIO
15
10
25

TOTAL
60
40
100

Contraste de Independencia entre Variables Cualitativas

Contraste Independencia: Idea Intuitiva para Resoluci´on I

Como puede verse, estos n´
umeros no son los que figuran en la
tabla de observaciones, pero tambi´en es evidente que aunque
las variables en cuesti´
on fuesen independientes,tampoco
coincidir´ıan como consecuencia de las fluctuaciones debidas al
azar.
Objetivo: Determinar si las diferencias existentes entre lo que
se ha observado (tabla inicial, que se denominar´a de tabla
frecuencias observadas) y lo que te´
oricamente habr´ıa de
darse (segunda tabla, que se denominar´a tabla de frecuencias
esperadas) son suficientemente importantes como para
pensar que la hip´otesis de que las variables son independientes
no es cierta.

Francisco M. Oca˜
na Peinado

Contraste de Independencia entre Variables Cualitativas

Generalizaci´on del Contraste Independencia I
La representaci´on general correspondientes a las variables A y B
vendr´a expresada en una tabla del siguiente tipo:
A/B
A1
A2
..
.

B1
n11
n21
..
.

B2
n12
n22
..
.

Ai
..
.

ni1
..
.

ni2
..
.

Ak
Totalesnk1
n.1

nk2
n.2

···
···
···

Bj
n1j
n2j

···
···
···

···
···

···
nij

···
···
···

···
nkj
n.j

···
···
..
.

Francisco M. Oca˜
na Peinado

···
···

Bm
n1m
n2m
..
.

Totales
n1.
n2.
..
.

nim
..
.

ni.
..
.

nkm
n.m

nk.
n

Contraste de Independencia entre Variables Cualitativas

Notaci´on en el Contraste de Independencia I

A ≡ v.a. cualitativa con k modalidades,
A = {A1 , A2 , . . . , Ai ,. . . , Ak }
B ≡ v.a. cualitativa con m modalidades,
B = {B1 , B2 , . . . , Bj , . . . , Bm }
nij ≡ n´
umero de veces que se presenta en la muestra
simult´aneamente la modalidad i de la variable A y la
modalidad j de la variable B.
ni. ≡ total de individuos que presentan la modalidad i de la
variable A (total de la i-´esima fila).
n.j ≡ total de individuos que presentan la modalidad j de la...