Método de Richardson

Tema:

TRANSFORMACIONES LINEALES

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DEFINICION: Si es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W ,entonces
T se llama TRANSFORMACIÓN LINEAL de V a W si para todos los vectores u y v de V y
todos los escalares c se cumple que:
a) T (u  v)  T (u )  T (v)
b) T (cu )  cT (u )
En el casoespecial donde V  W , la transformación lineal T : V  V , se denomina operador
lineal sobre V .
Esta definición es equivalente al requisito de que T conserva todas las combinaciones lineales.
Es decirT : V  W , es una transformación lineal si y solo si:

T (c1v1  c2v2 
Para todo v1 ; v2 ;

 ck vk )  c1T (v1)  c2T (v2 ) 

; vk  V y escalares c1 ; c2 ;

 ckT (vk )

; ck .OBSERVACION
La particularidad de una transformación lineal es que preservan las operaciones de suma y
producto por un escalar.
Ejemplos:
1. Transformación cero Sea V y W espacios vectoriales y definaT : V  W , por Tv  0 ;
para todo v en V. entonces:

T (v1  v2 )  0  0  0  T (v1)  T (v2 )
T ( v)  0   0  T (v)
En este caso, T se denomina la transformación cero.
2
 2 ,definida por T ( x; y )  (2 x  y; x  y ) ; es lineal. Dejamos
2. La transformación T :
la demostración para el estudiante.

3. El operador T : V  V definido por T (v)  v ; v V es lineal, llamadooperador
identidad.
4. La transformación T :
proyección.

3



2

, definido por T ( x; y; z )  T ( x; y ) ; es lineal, llamada

5. Sea T : M nn  , la transformación que mapea unamatriz cuadrada de orden n en su
determinante; es decir:

1
Ingeniería de Sistemas Computacionales

Ciclo 2013-1

T ( A)  det( A) .
Esta transformación no es lineal; dejamos como tarea lademostración al estudiante.
6. La transformación T :
contracción.



3

3

7. La transformación T :
dilatación.

3

, definida por T (u )   u , 0    1 ; es lineal llamada



3...