Álgebra de Bole

Álgebra de Boole
Álgebra de Boole (también llamada retícula booleana) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
El álgebra de Boole se llama así debido a George Boole, quien la desarrolló a mediados del siglo XIX. El álgebra de Booledenominada también álgebra de la lógica, permite prescindir de la intuición y simplificar deductivamente afirmaciones lógicas que son todavía más complejos.
El objetivo principal de este tema es llegar a manejar los postulados y teoremas del álgebra de Boole como herramienta básica en el análisis y síntesis de circuitos digitales.




Historia
Se denomina así en honor a George Boole (2 denoviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic,1 publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas paratratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of Thought,2 publicado en 1854.
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:
Alanálisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.
Definición
Dado un conjunto: formado cuando menos por los elementos: en el que se ha definido:
• Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:

En esta operación definimos unaaplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.

Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.
• La operación binaria interna, que llamaremos suma:

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c enB, tal que c es el resultado de sumar a con b.
• La operación binaria interna, que llamaremos producto:

Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.
Dada la definición del álgebra de Boole como unaestructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.
Orden en el álgebra de Boole
Sea: un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:

si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
1.
2.
3.
4.
Estas cuatro condiciones se consideranequivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.
Principio de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores suma con los de producto, y de los con los .


Cuando el álgebrade Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}
Empleando esta notación las leyes de De Morgan se...