Épsilon-Delta

Demostraciones ǫ − δ.
Comencemos haciendo algunas observaciones sobre el valor absoluto.
Valor Absoluto. Primero recordar que si x es un n´mero real, el
u
valor absoluto de x es la distancia desde x a 0 y es escrita como |x|.
Dicho de otra forma, podemos definir

 x si x > 0,
0 si x = 0,
| x| =

−x si x < 0.
Por tanto, si k es cualquier n´mero real, tenemos
u

 x − k si x > k,0
si x = k,
|x − k | =

k − x si x < k,

tal que es natural (y util) pensar en |x − k | como la distancia de x a
´
k . Dos equivalencias importantes que involucra el valor absoluto son
|x − k | < δ ⇐⇒ −δ < x − k < δ ⇐⇒ k − δ < x < k + δ,
donde el s´
ımbolo ⇐⇒ significa “si y s´lo si.” En palabras, estas
o
equivalencias dicen que x es menor que δ unidades de k si y s´lo si la
odiferencia x − k est´ entre −δ y δ si y s´lo si x est´ en el intervalo
a
o
a
(k − δ, k + δ ). ¡Haz el dibujo!
La Definici´n.
o
Definici´n (informal). Si f (x) es una funci´n definida para todos
o
o
los valores de x cerca de x = k, excepto tal vez en x = k , y si ℓ es un
n´mero real tal que los valores de f (x) se acercan y m´s a ℓ como los
u
a
valores de x son tomados m´s cerca y m´s cercade k , entonces decimos
a
a
que ℓ es el l´
ımite de f (x) cuando x se aproxima a k y escribimos
l´ f (x) = ℓ.
ım

x→k

Para transformar esta idea intuitiva hacia una definici´n precisa, neceo
sitamos decir exactamente qu´ decimos por “f (x) se acerca y m´s a
e
a
ℓ como los valores de x son tomados m´s cerca y m´s cerca de k.”
a
a
La idea principal es notar que si dos cantidades seest´n “acercando
a
y m´s,” entonces la distancia entre ellas se convierte “m´s peque˜a y
a
a
n
m´s peque˜a.” Esto es, la distancia es eventualmente m´s peque˜a
a
n
a
n
que cualquier n´mero positivo especificado.
u
Notar que hay una implicaci´n en esta definici´n informal. A saber
o
o
dice si permitimos a x convertirse cercano y m´s cercano a k, entonces
a
f (x) se convertir´ m´scerca y m´s cerca a ℓ. Cuando escribimos una
aa
a
demostraci´n, mostramos que al tomar x suficientemente cercano a k,
o
hacemos a f (x) arbitrariamente cerca a ℓ. Sin embargo, antes podemos
demostrar la implicaci´n en la definici´n, necesitamos saber cu´n cerca
o
o
a
a k es suficientemente cerca; eso es que necesitamos encontrar un δ.
Ahora vamos a enunciar la definici´n precisa.
o
1Definici´n. Suponga que k y ℓ son n´meros reales y f (x) es una
o
u
funci´n definida en un intervalo abierto que contiene a k, excepto tal
o
vez en x = k. Si para cualquier n´mero positivo ǫ > 0, existe un n´mero
u
u
positivo δ > 0 (que depende de ǫ) tal que
0 < |x − k | < δ =⇒ |f (x) − ℓ| < ǫ,
entonces decimos que ℓ es el l´
ımite de f (x) cuando x se aproxima a k
y escribimos
l´ f (x) =ℓ.
ım
x→k

Ejemplos. Ahora escribiremos unas pocas demostraciones para guiarte
en tu propia escritura. Para enfatizar la estructura l´gica de la prueba,
o
no mostraremos c´mo hallamos nuestro δ en los primeros dos ejemplos.
o
Ejemplo 1. Mostrar que l´ (3x − 5) = 1.
ım
x→2
ǫ
Demostraci´n. Sea ǫ > 0 y definamos δ = . Entonces si 0 <
o
3
|x − 2| < δ, tenemos
|(3x − 5) − 1| = |3x − 6|
=3| x − 2|
ǫ
< 3·
3
= ǫ.
Por tanto hemos mostrado
0 < |x − 2| < δ =⇒ |(3x − 5) − 1| < ǫ,
que muestra l´ (3x − 5) = 1 por definici´n.
ım
o
x→2

Ejemplo 2. Mostrar que l´ (7x − 1) = 27.
ım
x→4

Demostraci´n. Sea ǫ > 0 y definamos δ =
o
|x − 4| < δ, tenemos

ǫ
. Entonces si 0 <
7

|(7x − 1) − 27| = |7x − 28|
= 7| x − 4|
ǫ
< 7·
7
= ǫ.
Por tanto hemos mostrado
0 < |x − 4| <δ =⇒ |(7x − 1) − 27| < ǫ,
que muestra l´ (7x − 1) = 27 por definici´n.
ım
o
x→4
Cada uno de estos ejemplos es una prueba completa. Sin embargo, la
pregunta de c´mo elegimos los valores de δ no es respondida por la
o
prueba en si misma. De hecho, algo de “trabajo desde cero” fue realizado antes en la prueba que fue escrita. Vamos a observar al trabajo
desde cero ahora. (TDC ser´ la...