01_Gauss

1

SISTEMES D’EQUACIONS.
MÈTODE DE GAUSS

Pàgina 29
Equacions i sistemes d’equacions amb dues incògnites
1. Podem dir que les dues equacions següents són dues “dades distintes”? No és
cert que la segona diu el mateix que la primera?
 2x + y = 5

 4x + 2y = 10
■

Representa-les
gràficament
i
observa que es tracta de la mateixa
recta.
Se trata de la misma recta.
1
1
4x + 2y = 10
2x + y = 5

■Posa un altre sistema de dues
equacions amb dues incògnites en
què la segona equació siga, en
essència, igual que la primera.
Interpreta’l gràficament.
x + y = 1

3x + 3y = 3 
Gráficamente son la misma recta.

1
1

x+y=1
3x + 3y = 3

Unitat 1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss

1

2. Observa les equacions següents:
 2x + y = 5

 x– y=1
 x + 2y = 4

■

Representa-les i observa que lesdues
primeres rectes determinen un punt
(amb aquestes dues dades es responen les dues preguntes: x = 2,
y = 1) i que la tercera recta també
passa per aquest punt.

x–y=1

x + 2y = 4

(2, 1)

1
1

2

2x + y = 5

■

Dóna una altra equació que també
siga “conseqüència” de les dues
primeres. Per exemple: 2 · 1a + 3 · 2a
Representa-la i observa que també
passa per x = 2, y = 1.

x–y=1

x + 2y = 4

2 ·1-ª + 3 · 2-ª → 7x – y = 13

(2, 1)

1
1

2

2x + y = 5
7x – y = 13

3. Observa que el que diu la segona equació és contradictori amb el que diu la primera:
 2x + y = 5

 2x + y = 7
■

Representa-les i observa que es
tracta de dues rectes paral·leles, és a
dir, no tenen solució comuna,
perquè les rectes no es tallen en cap
punt.

1
1

2
2x + y = 7

2x + y = 5

Unitat 1. Sistemes d’equacions.Mètode de Gauss

2

■

Modifica el terme independent de la segona equació del sistema que has
inventat en l’exercici 1 i representa de nou les dues rectes.
Observa que el que diuen ambdues
equacions és ara contradictori i que
es representen mitjançant rectes paral·leles..
x+ y=
3x + 3y =

1

0

Rectas paralelas:
1
1
x+y=1

3x + 3y = 0

Pàgina 31
1. Sense resoldre’ls, són equivalents aquestssistemes?
 x+y=5
a) 
 2x – y = 7
 x+y= 5

= 12
 3x

x+y–z=5
b) 
=7
x+y

 x+ y–z= 5

c)  x + y
= 7
 2x + 2y – z = 12



z=2

x
+
y
=7



z=2

x
+
y
=7


 x + y – z = 11
d) 
 x + 2y – z = 7
 x + y – z = 11

y
= –4


a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que teníamos.
b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a lasegunda
ecuación la primera.
c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El
resto es igual que en b).
d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda
ecuación la primera.

Pàgina 33
1. Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents:
 2x + y = 1

a)  3x + 2y = 4
 x+ y=3


x+ y+z=6

b) 
y–z=1
 x + 2y
=7


Unitat1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss

x+y+z=6

c)  x + y + z = 0
x
–z=0


x+y+z=6

d) 
y–z=1

z=1


3

a) 2x + y = 1  → y = 1 – 2x 


3x + 2y = 4 


x + y = 3  → y = 3 – x 

1 – 2x = 3 – x → x = –2,

y = 3 – (–2) = 5

Veamos si cumple la 2-ª ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4
Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).
b) x + y + z = 6y–z=1
x + 2y
=7


 La 3-ª ecuación se obtiene sumando las dos primeras;

 podemos prescindir de ella.


x + y = 6 – z  x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2z

y=1+z y=1+z
Solución: x = 5 – 2λ, y = 1 + λ, z = λ. Son tres planos que se cortan en una recta.
c) x + y + z = 6 

x+ y+z=0 
x
– z = 0 

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.
El sistema es incompatible.
Los dosprimeros planos son paralelos y el tercero los corta.

d) x + y + z = 6 

y–z=1 
z = 1 

z=1
y=1+z=2
x=6–y–z=6–2–1=3

Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).
 x + 2y = 3
2. a) Resol el sistema: 
x– y=4
b) Afig-hi una tercera equació de manera que continue sent compatible.
c) Afig-hi una tercera equació de manera que siga incompatible.
d) Interpreta...