08 Derivadas BC2 APL 1VAR SOLO

© Abel Martín

APLICACIÓN DE DERIVADAS:
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON 1 VARIABLE.

001

Una granja se dedica a la cría de faisanes. El beneficio que puede obtener semanalmente
está relacionado con el número de aves criadas (representado por la variable x) a través de la
siguiente expresión:
B(x) = 6 000x - 0.2x3 - 10 000
(a) ¿Cuántos faisanes deben criarse por semana para obtener el mayorbeneficio posible?
(b) ¿Cuál será el beneficio obtenido en ese momento?

2B

002

Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los
costes de fabricación —C(x) en €— están relacionados con el número de juguetes fabricados
—x— a través de la siguiente expresión:
C(x) = 10x2 + 20x + 25
El precio de venta de cada juguete es de 80 €.
(a) Plantear la función de ingresosque obtiene el taller con la venta de los juguetes
producidos.
(b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes
de fabricación.
(c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios?; ¿a cuánto ascenderán
estos beneficios?

2B

Un vendedor de enciclopedias recibe, como sueldo mensual, una cantidad fija de 500 € más
una comisión que depende del númerode enciclopedias que venda según la expresión:
100x - 0.25x3
(donde x representa el número de enciclopedias).
El vendedor debe de correr con sus propios gastos, y tiene unos fijos de 100 € mensuales
más otros variables, que estima en 7 € por cada enciclopedia que vende. Se pide:
(a) Obtén la función que recoge el sueldo mensual del vendedor.
(b) Determina la función de gastos.
(c) Obtén lafunción de beneficios (sueldo menos gastos) del vendedor.
(d) ¿Cuántas enciclopedias debe vender para obtener el máximo beneficio mensual?
Calcula dicho beneficio.

2B

003

Los costes de fabricación C(x) en € de cierta variedad de galletas dependen de la
cantidad elaborada (x en Kg) de acuerdo con la siguiente expresión:
C(x) = 10 + 1.7 x
El fabricante estima que el precio de venta de cada Kg. degalletas viene dado por:

004

P(x) = 2 -

25x 2
100

en €

2B

(a) ¿El precio de venta disminuye con la cantidad?
(b) Suponiendo que vende todo lo que fabrica, obtén la función que recoge todas sus
ganancias.
(c) ¿Qué cantidad de galletas le interesa producir para maximizar las ganancias?
(d) En la situación óptima, ¿cuál es el precio de venta?, ¿qué ganancia se obtiene?

005

Cierta entidadfinanciera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad —R(x)
en cientos de €— viene dada en función de la cantidad que se invierta, x en cientos de €, por
medio de la expresión siguiente:
R(x) = - 0.001·x2 + 0.5·x + 2.5
(a) Deducir razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en
dicho plan.
(b) ¿Qué rentabilidad obtendría en ese momento?

2B

006

La producción decierta hortaliza en un invernadero, Q(x) en Kg, depende de la
temperatura, x en ºC, según la expresión:
Q(x) = (x + 1)2 (32 - x)
(a) Calcular razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.
(b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?

2B

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 Abel Martín
Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento
diariosson una función de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada. Tales costes (en
€) vienen dados por la siguiente expresión [C(x) representa el coste si el volumen de agua (en
millones de metros cúbicos) es x]:
C(x) = x3 + x2 - 8x + 73
(a) Encontrar el volumen diario de agua óptimo que debe mantenerse para minimizar
costes.
(b) Calcular el coste mínimo diario que supone el mantenimiento de lainstalación. Si un día
la presa tiene almacenados 3 millones de metros cúbicos de agua ¿cuánto se ha gastado de
más respecto del coste mínimo?

2B

Un individuo ha invertido en acciones de cierta compañía durante los últimos 10 años. El
valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido más beneficios obtenidos, en miles)
viene dado por la siguiente expresión (x en años):
F(x) = (x -...