0exam_examen_final_enero

Matem´
aticas
(1er curso de Biolog´ıa)
EXAMEN FINAL: 8 de Enero de 2010

apellidos (utilizar mayusculas)

nombre

d.n.i.

LEE DETENIDAMENTE CADA EJERCICIO ANTES DE RESPONDER

1. (2 puntos) Lapoblaci´
on N de una cierta especie a lo largo del tiempo puede modelizarse
de acuerdo a una ecuaci´
on log´ıstica con crecimiento intr´ınseco r = 2 y capacidad de carga
K = 1000. La teor´ıa nos dice entoncesque, siendo N (0) = 500 la poblaci´on a tiempo 0, se
tiene:
500e2t
e2t
N (t) = 1000
=
1000
1000 + 500(e2t − 1)
e2t + 1
(a) Calcula razonadamente la tendencia de la poblaci´on, es decir, el l´ımite:lim N (t)

t→∞

(b) Calcula la derivada de N respecto al tiempo N (t).
(c) Conocida la derivada N del apartado anterior, sustituyendo, comprueba que N verifica
la ecuaci´
on log´ıstica:
N
N = 2N 1 −1000

2. (3 puntos) El comportamiento demogr´afico de una cierta especie, cuya edad m´axima es 3
a˜
nos, puede modelizarse gracias a la siguiente matriz de Leslie:


0
6 8
A :=  1/2 0 0  .
0 1/2 0Esto quiere decir que si el vector de poblaci´on en el a˜
no t es


N0
N (t) =  N1 
N2
entonces el modelo predice que el vector de poblaci´on al a˜
no siguiente ser´a N (t+1) = A·N (t).

(a) Sup´on que el vector de poblaci´on en el a˜
no t sea N (t) = (1, 3, 2). ¿Cu´al ser´a el vector
de poblaci´
on en el a˜
no siguiente?
(b) Sup´
on que el vector de poblaci´on en el a˜
no t sea N (t) = (32,8, 2). Calcula cu´al debe
haber sido el vector de poblaci´on el a˜
no anterior.
(c) Calcula los autovalores de A. ¿Cu´al es el autovalor m´aximo (es decir, el crecimiento
intr´ınseco de la poblaci´on) de A?
(d) Calcula el autovector asociado al autovalor m´aximo.

3. (1’5 puntos) Calcula los extremos relativos de la siguiente funci´on de dos variables, indicando
su tipo (m´
aximo, m´ınimo o puntode silla):
f (x, y) = x3 − 3xy + y 3 .

4. (1’5 puntos) Haciendo un cambio a coordenadas polares (x = r cos α, y = r sen α), calcula la
integral de dos variables:
1
dxdy
2
2
D x +y
donde D es el...