1_limite_de_una_funcion

Límite de una función
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando
los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los
originales tienden a x0.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
x

f(x)

x

f(x)

1,9

3,61

2,1

4.41

1,99

3,9601

2,01

4,0401

2,0014,004001

1,999 3,996001
...

...

...

...

↓

↓

↓

↓

2

4

2

4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Definición de Límite de una función en un punto
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un
número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ (dependiente de ε ), tal que,para
todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→∞ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝑳𝑳 sí y sólo sí, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea
su radio 𝜺𝜺, exite un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro
del entornode L , Eε(L).

1

Límites laterales
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo
si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si
para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), , entonces |f (x) - L| <ε.

El límite de una función en un punto si existe, es único. Para que existe el límite de una función
en un punto deben de existir los límites laterales en ese punto y ser iguales.
Ejemplo 1:

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es
4.
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de unafunción en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto
sino a su alrededor.
Ejemplo 2
Dada la función:
Hallar lim𝑥𝑥→0 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

2

Limites infinitos
Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x
verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

a, si fijado un número real positivo K>0 se

Ejemplo:

Unafunción f(x) tiene por límite -∞ cuando x
a, si fijado un número real negativo K < 0 se
verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo:

Límites en el infinito
Límite cuando x tiende a infinito

3

Límite cuando x tiende a menos infinito

Ejemplo 1:

Ejemplo 2

4

Ejemplo 3:

Propiedades de los límites
Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un productoLímite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de un logarítmo

5

Operaciones con infinito: Indeterminaciones
Infinito más un número

Infinito más infinito

Infinito menos infinito

Productos con infinito
Infinito por un número

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero
Cero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinitopartido por un número

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

6

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y cero
Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un número

Un número elevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

No distinguimos entre +∞ y-∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:
La regla de los signos y que a-n = 1/a n

7

Cálculo de límites
Cálculo del límite en un punto
Si f(x) es una función polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc, y está
definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que...