11MOVperiodicos oscamort

11. Movimientos periódicos oscilaciones amor tiguadas
Los sistemas que se han considerado hasta ahora son idealizaciones en las cuales se considera que no existe fricción
fricción, que
únicamente intervienen fuerzas conservativas de tal manera que no hay disminución de la energía mecánica y que una vez que el
sistema se pone en movimiento, éste continúa oscilando para siempre sin disminución desu amplitud.
En la práctica los sistemas siempre tienen alguna forma de fricción y las oscilaciones van disminuyendo a menos que se provea de
alguna forma de reemplazar la energía mecánica perdida por la fricción. (v. gr. el péndulo de un reloj)
La disminución en la amplitud originada por las fuerzas disipativas es llamada el amortiguamiento
amortiguamiento, y el movimiento corresponde
aoscilaciones amortiguadas
amortiguadas.
Entre las diferentes posibilidades, el caso más simple de analizar es el de una fuerza de amortiguamiento que es proporcional a

la velocidad del cuerpo que oscila.
Este tipo de comportamiento se presenta en el movimiento de líquidos viscosos, como en el caso de los amortiguadores de
automóviles o el deslizamiento entre superficies lubricadas con aceite. En este tipode casos tenemos una fuerza adicional sobre el
cuerpo, debido a la fricción, de la forma:

F = -bv
donde v = dx/dt es la velocidad y b es una constante que describe la intensidad de la fuerza de amortiguamiento. El signo
negativo nos indica que la fuerza siempre se opone a la dirección de la velocidad
velocidad. De esta manera la fuerza neta
que actúa sobre el cuerpo es:

F = -kx -bv

-kx -bv =ma, ó
dx
d 2x
-kx -b —— = m ——
dt
dt 2
Esta es una ecuación diferencial cuya solución, cuando la fuerza de amortiguamiento es pequeña y se tiene un desplazamiento
inicial A, es de la forma

x = A e -(b/2m)t cos ω ´t
donde la frecuencia angular de oscilación ω’ está dada por:
ω ´=
lo cual puede verificarse fácilmente.

√

k - ——
b2
—
m 4m 2

Notas para el curso de Física Universitaria 1 ı 59Movimientos periódicos - oscilaciones amortiguadas

de acuerdo a la segunda ley de Newton para el sistema tendremos que:

Figura 33. Oscilación amortiguada por la acción de fuerzas disipativas.

Gráfica de un movimiento armónico amortiguado. Constante de fase
igual a cero. Aunque el movimiento es oscilatorio la amplitud disminuye
exponencialmente con el tiempo.
Las diferencias entre las .soluciones deloscilador armónico simple y el amortiguado son dos:

• La amplitud A e -(b/2m)t ya no permanece constante sino que disminuye con el tiempo de acuerdo al factor exponencial. Así
mientras más grande sea el valor de b , más rápido decaerá la amplitud.
k
• La frecuencia angular ω’ ya no es igual a √—
m sino que es un poco más pequeña, y se convierte en cero cuando b es tan
k
b2
grande que
— - ——2 = 0m 4m
o sea que

b = 2√km

Cuando b sobrepasa este valor el sistema ya no oscila sino que retorna a su posición de equilibrio sin oscilar. A esta situación se

Movimientos periódicos - oscilaciones amortiguadas

le denomina de sobreamortiguamiento y la ecuación de desplazamiento sería de la forma

x = C 1 e -αt + C 2 e -βt
donde C 1 y C 2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales entanto que α y β son constantes positivas determinadas
por m, k y b.

Oscilaciones forzadas y resonancia
En esta sección se analizará el comportamiento de un oscilador que se ve afectado por una fuerza externa,
particularmente por una que actúe en forma periódica. Cuando se presenta esta situación las oscilaciones resultantes se
denominan oscilaciones forzadas
forzadas. Una peculiaridad es queestas oscilaciones tienen la misma frecuencia que la de la fuerza
externa y no la frecuencia natural del cuerpo, sin embargo habrá que resaltar que el comportamiento del cuerpo dependerá de la
relación entre las dos frecuencias: la forzada y la normal.

60 ı Notas para el curso de Física Universitaria 1

Otro detalle importante es que un conjunto de pequeños impulsos aplicados con una frecuencia...