123

SUCESION CUADRATICA.
Introducción   
Para la obtención del término general de una sucesión aritmética cuadrática (o de segundo grado) existe una expresión matemática que contiene términos combinatorios, sin embargo en esta oportunidad se trata de ver un método práctico y simple para obtenerlo.
Por mi corta experiencia como profesor de matemáticas al alumno, en lo posible, se le debe brindarmétodos prácticos para la solución de los problemas planteados en clase.
Consideremos la siguiente sucesión de "n" términos:
t 0, t 1, t 2, t 3, ... t n - 1
Aplicando el método de las diferencias tendremos

Si todas las Segunda Diferencias son constantes (se estabilizan) la sucesión dada se trata de una sucesión aritmética cuadrática o de segundo orden
El témino general t n de la misma viene dadopor
t n = a n 2 + b n + c



Cálculo de los coeficientes a, b y c    
Para t = 0 resulta t 0 = c
Como t 1 - t 0 = m 0
t 1 - t 0 = a + b + c - c = m 0
es decir
a + b = m 0
y por último, siguiendo el mismo procedimiento
m 1 = t 2 - t 1 = 4a + 2b + c - a - b - c = 3a + b
r = m 1 - m 0 = 2a

Para determinar los coeficientes a, b y c basta resolver el sistema de ecuaciones



Un ejemplo    
Calculart 35 en la sucesión
3, 6, 13, 24, 39
Aplicando el método de las diferencias, comprobemos que se trata de una sucesión aritmética cuadrada


Resolviendo el sistema tendremos a = 2, b = 1 y c = 3 de donde
t n = 2 n 2 + n + 3
Finalmente, haciendo n = 35 resulta  
Nótese que el témino trigésimo quinto (t 35) ocupa el lugar 36 en la sucesión.

METODO DE DIFERENCIAS
INTRODUCCION
El método de diferenciasfinitas es un clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos.
Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones endiferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).
METODO DE EXPANSION DE TAYLOR
El método de expansión de Taylor es una forma alternativa de obtener aproximaciones de diferencia. Este método no solo deduce las fórmulas de diferencia sistemáticamente, sino que tambiéndeduce los términos de error.
Para una derivada de p-ésimo orden, el número mínimo de puntos de datos requeridos para deducir una aproximación de diferencia es 
, así por ejemplo una aproximación de diferencia para la primera derivada de una función necesita por lo menos de dos puntos de datos. Consideremos la deducción de la aproximación de diferencia para 
en términos de 
. La expansión de Taylorde 
alrededor de 
es 
(1). Resolviendo la ecuación anterior para la primera derivada, tenemos 
(2). Si ignoramos todos los términos con excepción del primero del miembro derecho de la ecuación (2), obtendremos la aproximación por diferencia hacia adelante. Los términos que se ignoran constituyen el error de truncado, representado por el término inicial, 
. Los demás términos desaparecen másrápidamente que el inicial cuando 
disminuye. La aproximación de diferencia hacia adelante, con el error de truncado incluido, se expresa como 
(3), dónde 
. El término 
indica que el error es aproximadamente proporcional al intervalo de la retícula 
. El error también es proporcional a la segunda derivada 
.
De la misma manera podemos expandir 
alrededor de 
en la forma 
(4), y resolviendonuevamente para la primera derivada, tenemos 
y aquí de la misma manera 
(5), dónde 
. Esta aproximación se denomina de diferencia hacia atrás.
Tomemos ahora ambas aproximaciones y restemos (4) de (1):

(6), expresión de la cual se ha eliminado el término 
. Resolviendo para 
, obtenemos 
(7).
Con el término de error incluido, la aproximación de diferencia central se expresa como 
(8), dónde ...