131668_Derivadaimplicitayordensuperior

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cálculo I : 2180

Profesor: Maria Eugenia Ríos M. , Andrés Carrillo, Carlos Alarcón

CAPÍTULO 3 DERIVADAS.
DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
DEFINICIÓN:
Se dice que una función (y/o relación) 0 está definida en forma implícita; cuando
la variable dependiente C no está despejada, es decir la fórmula que define a la función
0 estáexpresada en la forma À
0 ÐBß CÑ œ - Í 0 ÐBß Cß -Ñ œ !à con - constante.
En cambio, cuando la variable dependiente C está despejada, es decir la fórmula
que define a la función 0 está expresada en la forma À C œ 0 ÐB) se dice que la
función está definida en forma explícita.
EJEMPLOS:
Las siguientes fórmulas o ecuaciones
3Ñ
$B  #C œ &
33Ñ
333Ñ BC  C  $ œ !
3@Ñ

=/8 ÐBCÑ  68 B œ +<- =/8 ( BC )
B# C$ (BC  C# œ #

definen a una función (y/o relación) escrita en forma implícita.
OBSERVACIÓN:
Notar de los EJEMPLOS anteriores, que en algunos casos es posible despejar de
manera trivial la variable dependiente C ; como es en 3Ñ y 333Ñ . En cambio en otros es
imposible o a lo menos engorroso dicho despeje como es en 33Ñ y 3@Ñ . En el caso de
ser posible despejar trivialmente la dependiente C ; sedespeja y se deriva como antes.
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LA DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA IMPLÍCITA:
1ª)

Consideramos la fórmula 0 ÐBß CÑ œ - con - -98=>+8>/Þ

2ª) Aplicamos el operador derivada respecto de la variable independiente B a ambos
lados de la igualdad, teniendo en cuenta que la variable dependiente C depende de B .
.
.
. B Ð0 ÐBß CÑ œ . B Ð-Ñ
3ª)

En esta última seaplican las reglas de derivación, obteniéndose el término
C w œ .. BC Þ

4ª)

Se despeja algebraicamente C w o

.C
.B

y se obtiene la derivada pedida.

EJEMPLOS RESUELTOS:
1. Dada la igualdad À B-9=C  C=/8B  & œ !ß determine una fórmula que define Cw ß en
el punto T para el cual B œ C œ 1$ Þ
SOLUCIÓN:
Derivando la igualdad dada se tiene que:
-9=C  B=/8CÐCw Ñ  Cw =/8B  C-9=B œ ! Í Cw œ-9=CC-9=B
=/8BB=/8C ¹
1
Cw œ

-9= 1$  1$ -9= 1$
=/8 1$  1$ =/8 1$

œ 

BœCœ $

"
$1
È$ ’ $1 “

#

. C
#Þ Si se sabe que À %B#  *C# œ $'à determine .B
# usando derivación implícita.
SOLUCIÓN:
Derivando la igualdad dada se tiene que: )B  ")CCw œ ! Ê Cw œ %B
*C

Cw w œ

$'C$'BÐ %B
*C Ñ
Ð*CÑ#

œ

$'C# "'B#
)"C$

œ

"%%
)"C$

œ

"'
*C$

3.Se da la curva de ecuación À BC œ CB Þ Encuentre lasecuaciones de las rectas: tangente
y normal a esta curva, en el punto T Ð"ß "ÑÞ
SOLUCIÓN:
Si BC œ CB ; podemos aplicar función logaritmo a esta igualdad:
Í C68B œ B68C y enseguida aplicamos derivación implícita a esta igualdad:
Cw 68B  C † B" œ " † 68C  B † C" † Cw à y despejando Cw ß se tiene que:
Cw œ

68C BC
68B BC ¹T Ð"ß"Ñ

œ"

Con ello tenemos que la ecuación de la recta tangente a la curvadada en el punto
T Ð"ß "Ñß toma la forma: 6> À C  " œ " † ÐB  "Ñ Í 6> À C œ B
Para la ecuación de la recta normal se tiene que:
6R À C  " œ Ð  "ÑÐB  "Ñ Í 6R À B  C  # œ !Þ

4. Demuestre que las hipérbolas dadas por las ecuaciones À BC œ +# y B#  C# œ ,# ß
se cortan entre sí formando un ángulo recto.
SOLUCIÓN:
i)Si BC œ +# Ê derivando À C  BCw œ ! Ê Cw œ C
B œ 7"
#
#
#
w
ii)Si B  C œ ,Ê derivando À B  CC œ ! Ê Cw œ BC œ 7#
Multiplicando ambas pendientes: 7" y 7# à se tiene que À 7" † 7# œ  "
5. Sea :ÐBÑ una función positiva y derivable. Calcule la derivada de la función À
J ÐBÑ œ Š:ÐB Ñ‹

:ÐB$ Ñ

#

Þ

SOLUCIÓN:

Si J ÐBÑ œ Š:ÐB Ñ‹
#

:ÐB$ Ñ

Í 68ŒJ ÐBÑ œ :ÐB$ Ñ68Š:ÐB# Ñ‹ à

„68

Procedemos ahora a derivar cada lado de la igualdad À
"
"
w
w $
#
#
w $
w #
J ÐBÑ J ÐBÑ œ : ÐBÑ$B 68Š:ÐB Ñ‹  : ÐB Ñ :ÐB# Ñ : ÐB Ñ#B
Ê J w ÐBÑ œ J ÐBÑ † ’$B# :w ÐB$ Ñ68Š:ÐB# Ñ‹  #B:w ÐB$ Ñ :ÐB" # Ñ :w ÐB# Ñ“
Í J ÐBÑ œ Š:ÐB Ñ‹
w

#

:ÐB$ Ñ

† ’$B# :w ÐB$ Ñ68Š:ÐB# Ñ‹  #B:w ÐB$ Ñ :ÐB" # Ñ :w ÐB# Ñ“

EJEMPLOS PROPUESTOS:
1. Determine la primera derivada de las siguientes expresiones dadas en forma implícita:
a)B=/8C  $  B# œ % b)>+8ÐBCÑ  B œ #
c) B/#C"  "  B œ !
d)68Š"  ÈB#  C#...