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1.

EJERCICIOS
1. En el espacio euclídeo usual R4 se consideran los subespacios vectoriales
W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − y = 0, z + t = 0}
y
W2 = L{(1, 1, −2, 2), (1, 0, −1, 0)}
Hallar:a) Las ecuaciones de W1⊥ y una base ortonormal de W1⊥ .
b) Las ecuaciones del complemento ortogonal W2⊥ y una base ortogonal para W2 .
2. Dada la forma bilineal simétrica sobre R3 , F (x, y) = xtAy, siendo



a 0
0
A =  0 2 −1 
0 −1 2
a) Determinar para qué valores de "a" define F un producto escalar.
b) Para a = 1, ¿son ortogonales los vectores (1, 1, 1) y (2, −1, −1)?
3. Si Fes la forma bilineal en R2 cuya matriz asociada con respecto de
la base canónica es
A=

a −1
−1 1

,

determinar los valores de "a" para los que F define un producto escalar.
4. Sea Q : R4 →R la forma cuadrática definida en la base canónica por
la matriz:


2
 0
A=
 1
0

0
2
0
1

1
0
2
0


0
1 

0 
2

Se pide:
a) Determinar si Q da lugar a un productoescalar.

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1 EJERCICIOS
b) En el espacio euclídeo real (R4 , , ) que define Q se pide:
b.1) Calcular la distancia y ángulo entre los vectores u = (1, 1, 1, 1)
y v = (1, 1, 0, 0).
b.2)Obtener las ecuaciones implícitas del complemento ortogonal
al subespacio vectorial U = L{(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0)}.
b.3) Determinar una base ortonormal del subespacio vectorial V =
L{(1, 1, 1, 1),(1, 0, 0, 1)}.
5. Dado R3 con el producto escalar usual, calcular:
a) La proyección del vector (1, 0, 0) sobre el subespacio U ≡ x + y =
0.
b) La proyección del vector (1, 2, 3) sobre el subespacioW = L{(1, 0, 1)}.
6. En R4 , con el producto escalar usual, se considera el subespacio
U = L{(0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, −1)}
Se pide:
a) Hallar una base ortonormal de U .
b) Hallar lasproyecciones sobre U y sobre U ⊥ del vector v = (1, 2, 3, 4).
7. En R4 , con el producto escalar usual, utilizar el método de GramSchmidt para calcular una base ortonormal a partir de los vectores...