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Interés Compuesto


En el Sistema de interés compuesto, el capital y los intereses devengan intereses. Los intereses se capitalizan, es decir, se añaden al capital al final de cada periodo de composición.

El periodo de capitalización (o de composición, también de conversión) es el intervalo de tiempo al final del cual se añaden los intereses al capital. Por ejemplo, si el interés secapitaliza anualmente, el periodo de capitalización es el año; si el interés se compone mensualmente, el periodo de capitalización es el mes, etc…

Suponga que coloca un capital de 1.000 $ al 10% de interés compuesto anualmente durante 3 años, el cuadro siguiente muestra el comportamiento de capital e intereses en un periodo de tres años.

Periodo Años
Capital
Inicial
Intereses
Periodo
Monto
Final1
1.000
100
1.100
2
1.100
110
1.210
3
1.210
121
1.331

Observe que los intereses en un mismo periodo de tiempo no son iguales, aumentan debido a que el capital aumenta al añadirle los intereses. En nuestro ejemplo, 100$ el primer año, 110$ el segundo y 121$ el tercer año.

En general, si colocamos un capital P a interés compuesto, con tasa del periodo de capitalización igual a i, elcomportamiento del capital e intereses durante n periodos es como sigue


Periodo
Capital
Inicial
Intereses
periodo
Monto o Valor
Final
1
P
P*i
P+Pi = P(1+i)
2
P(1+i)
P(1+i)*i
P(1+i)+P(1+i)*i = P(1+i)2
3
P(1+i)2
P(1+i)2*i
P(1+i)2+P(1+i)2*i = P(1+i)3
.
.
.
.
.
.
.
.
n
P(1+i)n-1
P(1+i)n-1*i
P(1+i)n-1+P(1+i)n-1*i = P(1+i)n


VF = VP*(1+i)n

Donde i es la tasa del periodo de capitalización y n es el número deperiodos de capitalización.

La fórmula VF = VP*(1+i)n significa que VP hoy es equivalente a VF dentro de n años, es decir, VP y VF son capitales equivalentes de acuerdo a la ley de interés compuesto.


NOTACION Y FORMULAS


VF = VP(1+i)n

I = VF - VP


V
P: Valor Presente o capital Inicial
VF: Valor Futuro o Monto final
I: Intereses de la operación
i: tasa del periodo decapitalización
n: nº de periodos de capitalización del plazo de la operación



Frecuencia de la capitalización (k): es el número de veces que se capitalizan los intereses en un año.

Si el interés se compone mensualmente entonces k = 12;
Si el interés se capitaliza trimestralmente, entonces k = = 4;

Si el interés se convierte bimestralmente, k = = 6



Ejemplo: ¿Cuál es la frecuencia decapitalización si realizo un depósito en un banco que paga 21% de interés anual convertible cuatrimestralmente?



La frecuencia es 3


En el sistema de capitalización compuesto manejaremos diferentes definiciones de tasas:

Tasa nominal ( in ): Es la tasa anual que se declara en la operación financiera. Generalmente es una tasa de referencia anual. es una tasa de nombre mas node hecho.

Tasa proporcional o del periodo ( ip ): Es la tasa del periodo de capitalización y se calcula dividiendo la tasa nominal anual ( in ) entre la frecuencia de capitalización ( k ). Es la tasa que aparece en la fórmula de Valor futuro.





Ejemplo: ¿Cuál es la tasa del periodo si realizo un depósito en un banco que paga 21% de interés nominal anual convertible cuatrimestralmente?

En elejemplo anterior, calculamos k = 3, por lo tanto,



Tasa de 7% cuatrimestral

¿Cuánto tendré acumulado en la cuenta al cabo de 2 años si el depósito es Bs. 500.000?

VF = VP (1+i)n

P= 500.000
i = 0,07 cuatrimestral
n = 6 cuatrimestres (en 2 años) = (n° de años)*(frecuencia) =2*3 = 6
VF = 500.000(1+0,07)6 = 750.365,18


Al cabo de dos años tendré en la cuenta Bs. 750.365,18

Otra manera deescribir la fórmula anterior es




Donde,

VP: Valor Presente o capital Inicial
VF: Valor Futuro o Monto final
in: tasa nominal anual
k: Frecuencia de la capitalización
t : Número de años que dura la operación financiera


Las dos fórmulas son equivalentes ¿porqué?





















En el sistema de interés compuesto el dinero crece exponencialmente....