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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003

EL DESARROLLO DEL ÁLGEBRA MODERNA
Parte III: El surgimiento del álgebra abstracta
Guillermo Dávila Rascón
Los matemáticos no estudian los objetos, sino las
relaciones entre los objetos; por tanto, les es indiferente
reemplazar estos objetos por otros, con tal que no
cambien las relaciones. La sustancia no les importa,
sólo lesinteresa la forma.
Henri Poincaré1

1. INTRODUCCIÓN
Mencionábamos en la segunda parte de estas notas que la contribución de Francisco Vieta
(1540-1603) al desarrollo del álgebra fue muy importante, no sólo por haber sido el primero
en introducir una notación mucho más adecuada para el análisis algebraico que la de sus
predecesores, sino que proveyó al álgebra de un nuevo enfoque: en su trabajoencontramos
un nuevo simbolismo para denotar entidades algebraicas, una clara inclinación hacia el
análisis como el método del álgebra y una negación de la geometría como su fundamento.
Ese método, al cual llamó logística simbólica, fue introducido en su Arte Analítico, y “...
emplea símbolos o signos para cosas, como, digamos, las letras del alfabeto” [21, p. 17];
asimismo, en este trabajo Vietaestableció las reglas en las que se basaba su novedoso
método. La logística simbólica le permitió a Vieta representar por medio de las letras del
alfabeto las variables, e incluso los coeficientes, en una ecuación; esto trajo una ventaja
adicional: las operaciones presentes en la resolución de una ecuación se hicieron mucho
más visibles y, de esta manera, se pudo dar un paso decisivo hacia lageneralización de las
diferentes “recetas” que se tenían para resolver ecuaciones algebraicas, lo cual abrió nuevos
caminos que le permitirían al álgebra consolidarse, en los dos siglos siguientes, como una
rama totalmente independiente dentro de las matemáticas.
Por otra parte, no podemos pasar por alto el gran talento matemático de Vieta pues sus
contribuciones a las matemáticas no se limitan sólo a laintroducción de un nuevo
simbolismo algebraico. De hecho, sus intereses matemáticos eran variados e hizo
contribuciones originales en trigonometría, en la solución de ecuaciones por métodos
numéricos y en la aplicación del álgebra a la geometría. Sin embargo, una de sus “faltas”
fue la de no considerar números negativos como soluciones de ecuaciones, por lo que en
este aspecto no siguió a Cardano,para quien era bastante natural trabajar con cantidades
negativas como raíces de ecuaciones a las cuales llama “soluciones falsas” e identifica con
“débitos”; así, es clara la aceptación, por parte de este último, de los números negativos.
Más importante aun, es su reconocimiento de los números imaginarios, aunque como
entidades verdaderamente sofisticadas (ver la Parte II).

1

Citado en [15], p.351.

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También es preciso señalar que el simbolismo introducido por Vieta no estaba
completamente desarrollado pues era una mezcla de álgebra abreviada con un estilo
simbólico; no obstante, fue lo suficientemente flexible como para sentar las bases de la
teoría moderna de ecuaciones. En efecto, Vieta considera ecuacionesgenerales y no casos
particulares como lo hicieron Cardano y sus antecesores; además, si bien este último ya
había entendido la estrecha relación entre los coeficientes de una ecuación algebraica y sus
raíces, con el nuevo simbolismo quedó mucho más clara esta simbiosis para todos los
matemáticos. Así, en el esquema de Vieta, un analista (algebrista), armado con este
simbolismo, podría encontrarresultados para ecuaciones algebraicas generales y luego
aplicarlos a casos particulares.
En Inglaterra, por otro lado, las ideas de Vieta tuvieron mucha influencia en dos
académicos que, como veremos más adelante, fueron los precursores de una escuela inglesa
que favoreció el estilo simbólico y estableció las bases para el desarrollo de una álgebra
simbólica en la isla. Ellos fueron Thomas Harriot y...