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2.8 FUNCIÓN INVERSA. FUNCIÓN LOGARÍTMICA, FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:
FUNCIONES INVERSAS:


Sea una función f de dominio Dom(f); si f es inyectiva, entonces f tiene función inversa, que expresamos por f -1, y que está definida por:



Observa que para la función inversa se cumple que:
               Dom(f -1) = Im(f)     y  que    Im(f -1) = Dom(f)


Una función y su inversa verificanlas siguientes propiedades:
•   f[f -1(x)] = f -1[f(x)] = x
•   Las gráficas de f y de f -1, referidas al mismo sistema de coordenadas, son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.



Hallar la inversa de una función f(x)
Para hallar la inversa de una función f debemos seguir los siguientes pasos:


1.   Ver si f es inyectiva.
2.   Despejar la variable  x  de la ecuación:  y =f(x)
3.   Intercambiar las variables   x   e   y   para obtener   f -1(x)
Ejemplo de hallar la inversa de una función
Dada una función f, vamos a hallar su función inversa:


a)   f(x) = 3x + 2


Primero vemos si es inyectiva:


               f(x1) = f(x2)     ⇒     3x1 + 2= 3x2 + 2     ⇒     3x1 = 3x2     ⇒     x1 = x2


Luego sí es inyectiva.


En segundo lugar, despejamos la variable x de laecuación:   y = f(x)
               
Por último, intercambiamos las variables:


               





b)   f(x) = x2


Esta función no es inyectiva:     f(-2) = f(2) = 4  , dos elementos distintos tienen la misma imagen.


Para valores reales positivos de la función podemos obtener su inversa:


               f(x) = y     ⇔     x2 = y     ⇔     x = +√y     ⇔     y = +√x     ⇔     f -1(x) = +√x               

               La función inversa presenta restricciones:


               las funciones f(x) = x2 y f(x) = +√x son funciones inversa sólo si las consideramos en el intervalo [0 , ∞)





Si no hubiésemos puesto la condición  x > 0  tendríamos que la inversa de f(x) = x2  sería f -1 = ± √x, que no es función.
Imagen inversa de un número
Para todo y0 del recorrido de la función f(Im(f)), su imagen inversa f -1(y0), es el conjunto de los números x del dominio de f (Dom(f)) que se transforman en y0.


               f -1(y0) = { x ∈ R /   f(x) = y0 }


Para hallar  f -1(y0)  se resuelve la ecuación  f(x) = y0.


También podemos determinar  f -1(y0)  gráficamente trazando la recta horizontal  y = y0.  Las abscisas correspondientes a los puntos de corte de dicha recta con lagráfica de f(x) forman la imagen inversa de y0.


Ejemplo de imagen inversa de un número
Vamos a calcular la imagen inversa de 4 y 1 de la función:   f(x) = x2

f -1(4) = { x ∈ R /  f(x) = 4 } = { x ∈ R /  x2 = 4 } = { -2 , 2}

f -1(1) = { x ∈ R /  f(x) = 1 } = { x ∈ R /  x2 = 1 } = { -1 , 1}

Para hallar las imágenes inversas trazamos las rectas:   y = 4   ,   y = 1

La abscisas correspondientes alos puntos de corte de ambas rectas con la gráfica:

f(x) = x2 forman la imagen inversa de 4 y 1, respectivamente.

-FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:
loga x = b Û ab =x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).
Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
Lasimágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y...