2

´
CALCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL I
´
PRIMERA EVALUACION
PARCIAL E1600
(1) Si f (x) es una funci´on par cuya gr´afica para x ≥ 1 es la que se indica en la figura
f (x)

2

◦
•

1
•
2

1

3

•
4

5

x

•

−3

completar la gr´afica, indicar su dominio, sus ra´ıces y su contradominio (rango).
(2) Dada la funci´on

√
f (x) = 2x2 − x − 6
calcular su dominio, sus ra´ıces, la paridad, contradominio(rango) y esbozo de su gr´afica.

(3) | 2 − 7x | ≤ 4 − 3x.
(4) Sean

√
3
&
g(x)
=
9 − 2x.
2x2 − 8
(a) Indicar dominio, contradominio y ra´ıces de f y de g
(b) Calcular (f ◦ g)(x), su dominio, contradominio y ra´ıces
f (x) =

(5) En un bosque, un depredador se alimenta de su presa y para las primeras 15 semanas a partir del fin de
la temporada de caza la poblaci´on de depredadores es una funci´on f dex, donde x es el n´
umero de presas
en el bosque, la cual a su vez, es una funci´on g de t, donde t es el n´
umero de semanas que han pasado
desde el fin de la temporada de caza.
1
Si f (x) = x2 − 2x + 50 & g(t) = 4t + 52, donde 0 ≤ t ≤ 15, haga lo siguiente:
48
(a) Encuentre un modelo matem´atico que exprese la poblaci´on de depredadores, como funci´on del n´
umero
de semanas a partir del fin dela temporada de caza
(b) Determine la poblaci´on de depredadores, 11 semanas despu´es del cierre de la temporada de caza

canek.azc.uam.mx: 1/ 3/ 2006.
1

´ PARCIAL E1600
PRIMERA EVALUACION

2

Respuestas
(1) Si f (x) es una funci´on par cuya gr´afica para x ≥ 1 es la que se indica en la figura
f (x)

2

◦
•

1
•
2

1

3

•
4

5

x

•

−3

completar la gr´afica, indicar su dominio, sus ra´ıces ysu contradominio (rango).
La gr´afica completa es:
f (x)

◦
•

2

◦
•

1

−5
•
−4

−3

•
−2

•

−1

1

•
2

3

−3

•
4

5

x

•

Df = [−5, −1) (1, 5].
Rf = [−3, 2).
Ra´ıces x = −4, x = −2, x = 2 & x = 4.
(2) Dada la funci´on

√
f (x) = 2x2 − x − 6
calcular su dominio, sus ra´ıces, la paridad, contradominio (rango) y esbozo de su gr´afica.
√
Las ra´ıces son los puntos x ∈ Df tales que f (x) = 0;esto es 2x2 − x − 6 = 0 ⇒
⇒ 2x2 − x − 6 = 0, por lo que


8
√
√

2

1 ± 49
1±7
1 ± 1 + 48
=
=
= 46 =
x=
3
−

4
4
4
−
2
4

x=2yx=−

3
son las ra´ıces y el Df =
2

x ∈ R 2x2 − x − 6 ≥ 0 ;

´ PARCIAL E1600
PRIMERA EVALUACION

3

3
x ∈ R x = − , x = 2 o bien 2x2 − x − 6 > 0 .
2
3
, se cumplir´a la desigualdad 2x2 − x − 6 > 0 si
Como 2x2 − x − 6 = 2(x − 2) x +
2

Df =

x − 2 > 0 & x + 32 > 0
x >2 & x > − 32
x ∈ (2, +∞)

o bien
x − 2 < 0 & x + 32 < 0 ;
o bien
x < 2 & x < − 32 ;
o bien
x ∈ −∞, − 32 ;
x ∈ −∞, − 32
(2, +∞) ;

y por u
´ltimo, Df = −∞, − 32
[2, +∞).
La funci´on f (x) no es par ni impar, de hecho ni siquiera su dominio es sim´etrico con respecto al origen;
por ejemplo − 32 ∈ Df pero 32 ∈ Df .
Rf = [0, +∞).
f (x)
7
•

6

•

5

•
4

•

•

3
•

−4

−3

2

•
−2 − 3
2

•
2

x
3

45

Tenemos que
f − 32 = f (2) = 0 as´ı como que f (−2) = 2; tambi´en que
√
√
√
f (−3) =
15
≈
3.87;
y
adem´
a
s
que
f
(−4)
=
30
≈
5.48;
f
(3)
=
3,
f(4)
=
22 ≈ 4.69;
√
f (5) = 39 ≈ 6.24, etc´etera.
(3) | 2 − 7x | ≤ 4 − 3x.
Esta desigualdad equivale al sistema
−(4 − 3x) ≤ 2 − 7x ≤ 4 − 3x.
La primera desigualdad, −4 + 3x ≤ 2 − 7x, se cumple si
7x + 3x ≤ 2 + 4 ⇔ 10x ≤ 6 ⇔ x ≤

6
3
= .
10
5

−2
1
Lasegunda desigualdad, 2 − 7x ≤ 4 − 3x, se cumple si 4x ≥ −2 ⇔ x ≥
⇔x≥− .
4
2
3
1
Luego, ambas se cumplen si − ≤ x ≤ .
2
5
Entonces el conjunto soluci´on es
1 3
CS = − ,
2 5
•
•
1
−
2

•
•
3
5

´ PARCIAL E1600
PRIMERA EVALUACION

4

(4) Sean
√
3
&
g(x)
=
9 − 2x.
2x2 − 8
(a) Indicar dominio, contradominio y ra´ıces de f y de g
Vemos que:
f (x) =

Df = R − x ∈ R 2x2 − 8 = 0
Dg =

x ∈ R 9 − 2x ≥ 0

=

=R − x ∈ R x2 = 4
x∈ R

9
≥x
2

=

−∞,

= R − { ±2 } ;
9
.
2

3
Observemos que f (x) es par, que f (0) = − y que en [0, 2) y en (2, +∞) f (x) es decreciente; efecti8
vamente
0 ≤ x1 < x2 < 2 ⇒ 0 ≤ x21 < x22 < 4 ⇒ 0 ≤ 2x21 < 2x22 < 8 ⇒
2x22 − 8
<1⇒
2x21 − 8
1
1
3
3
⇒ 2
< 2
⇒ f (x2 ) = 2
< 2
= f (x1).
2x2 − 8
2x1 − 8
2x2 − 8
2x1 − 8

⇒ −8 ≤ 2x21 − 8 < 2x22 − 8 < 0 ⇒

Y tambi´en que
0 < 2 < x1 < x2 ⇒...