2011f2n3

Ministerio

´ tica
VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matema

Sociedad Matem´
atica

de Educaci´
on

(ONEM 2011)

Peruana

Segunda Fase - Nivel 3
19 de agosto de 2011
- La prueba tiene una duraci´
onm´
axima de 2 horas.
- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tusc´alculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomar´
a en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con losenunciados de las preguntas.

ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
´
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NUMERO
ENTERO POSITIVO.
1. Un granjero vendi´
o cuyes a S/. 12cada uno y con el importe de la venta decidi´o comprar
algunos conejos a S/. 14 cada uno, qued´andole S/. 26. ¿Qu´e cantidad de conejos compr´o, si
se sabe que al sumar el n´
umero de cuyes vendidos conel n´
umero de conejos comprados se
obtiene 182 ?
2. Sea ABC un tri´
angulo rect´
angulo de hipotenusa AC. Se ubica el punto D en el cateto BC
CD
de modo que
= 3. Si ∠DAB = α y ∠ACB = β, halla elvalor de cot α · cot β.
DB
3. Sea f una funci´
on definida en el conjunto de los n´
umeros enteros tal que f (1) = 1, f (3) = 2
y adem´as:
f (x) = f (x − 1) + f (x + 1),
para todo n´
umero entero x.Calcula f (2011).
4. En el siguiente tablero se debe escribir n´
umeros del conjunto {1, 2, 3, 4} de tal manera que en
cada fila, en cada columna y en cada uno de los cuadrados de 2 × 2 se˜
nalados nohayan dos
n´
umeros iguales (de forma similar al Sudoku). Halla la suma de todos los posibles valores de
x.

1
x
4
2

1

Segunda Fase - Nivel 3

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Sociedad Matem´
atica
Peruana5. Ana le dice a Beatriz: “Estoy pensando en un n´
umero de dos cifras, y el producto de esas dos
cifras es 36”. Al ver las posibilidades, Beatriz le pide m´as datos, a lo que Ana responde: “Te...