2012_0_EVALUACIONES_TODAS

Compendio de evaluaciones del ciclo 2012-0
´
Equipo de MATEMATICA
II ciclo 2012-0
1

1

prohibida su reproducci´
on total o parcial

1

Curso: Matem´
aticas II

Calificada 1
Viernes 13 de Enero de 2012

1. Sea (an )n∈N una sucesi´
on de n´
umeros positivos tal que a1 = 2 y an+1 = 14 an para todo n ∈ N.
a) Demuestre que la sucesi´
on es mon´otona.
Soluci´
on. En efecto, como 41 < 1

1
an < an
4esto implica que la sucesi´
on es estrictamente decreciente.
an+1 =

b) Pruebe que la sucesi´
on es acotada.
Soluci´
on. Como la sucesi´
on es decreciente entonces es acotada superiormente por el primer
t´ermino: 2. Como los t´erminos son positivos la sucesi´on esta acotada inferiormente por el n´
umero
cero.
c) Por el Axioma de Completitud la sucesi´on es convergente. Calcule el l´ımite.
Soluci´on. Si el l´ımite existe entonces an+1 = 41 an implica que
L = l´ım an+1 = l´ım
n→∞

n→∞

1
1
L
an =
l´ım an =
4
4 n→∞
4

de donde L = 0.
2.

a) De la definici´
on formal del l´ımite l´ım f (x) = +∞.
x→−∞

Soluci´
on. Para todo M ∈ R existe un N ∈ R tal que si x < N entonces f (x) > M .
b) Use la definici´
on anterior para demostrar que l´ım −x3 = +∞.
x→−∞

1

3

Soluci´
on. Es necesario que −x > M, lo cual es equivalente a x3 < −M o x < (−M ) 3 . Entonces es
1
suficiente tomar N = (−M ) 3 .
3. Calcule los siguientes l´ımites o explique por qu´e no existen.
a) l´ım ln(n) · sen
n→∞

1
ln(n2 )

1
ln(n2 ) · sen
n→∞ 2

= l´ım

1
ln(n2 )

1 sen
n→∞ 2

= l´ım

√

1
ln(n2 )
1
ln(n2 )

=

1
2

√
x−3
x−3
1
1
√
√
=
l´
ım
= l´ım
=
√
x→9 x2 − 81
x→9 (x + 9)( x + 3)( 3 − 3)
x→9 (x + 9)( x + 3)
108

b)l´ım
c)

l´ım

x→−∞

x−1
x+1

−x

= l´ım

z→+∞

−z − 1
−z + 1

 |x−1|

 x2 −1



d ) l´ım f (x) donde f (x) =
0
x→1




 1

z

= l´ım

z→+∞

−z − 1
−z + 1

z

= l´ım

z→+∞

1+

2
z−1

(z−1)+1

= e2

x<1
x=1

x>1
|x−3|
Este l´ımite no existe. Para ello mostramos que los l´ımites laterales son diferentes. En efecto,
l´ım f (x) = l´ım

x→1−

x→1−

1

|x − 1|
1
=−
2
x −1
2

y sin embargol´ım f (x) = l´ım

x→1+

x→1+

1
1
=
3−x
2

4. El costo de producir p unidades de cierto producto es C(p) miles de soles. Se sabe que cuando el n´
umero
de unidades producidas aumenta indefinidamente el costo se aproxima a la funci´on lineal Ap + B donde
A, B son constantes positivas.
a) Verifique que el costo promedio (costo por unidad) converge cuando el n´
umero de unidades producidas aumentaindefinidamente.
Soluci´
on. Por hip´
otesis se tiene que
l´ım C(p) − (Ap + B) = 0

p→+∞

es decir, Ap + B es una as´ıntota oblicua. Pero entonces
C(p) − (Ap + B)
C(p)
B
C(p)
= l´ım
−A+
= l´ım
−A
p→+∞
p→+∞
p→+∞
p
p
p
p

0 = l´ım

⇒

C(p)
= A.
p→+∞
p
l´ım

b) Se estima que para que las ventas sean rentables el costo promedio del producto no debe superar
los A + B miles de soles. Demuestre que en estecaso a partir de cierto n´
umero de unidades
podemos garantizar la rentabilidad de las ventas.
Soluci´
on. Por la definici´
on formal de l´ımite al infinito, tomando = B vemos que existe un N tal
que p > N implica
C(p)
C(p)
− A| < B ⇔ −B <
−A |
p
p
y sumando A obtenemos

C(p)
< A + B.
p

5. Considere dos funciones continuas f, g : [0; 10] → R que representan la oferta y demanda respectivamentede un producto, verific´
andose lo siguiente:
a) g(0) = 8 y g(10) = 1.
b) f (x) = ex + 1.
Demuestre la existencia de un punto x0 ∈ ]0; 10[ tal que f (x0 ) = g(x0 ). El punto x0 es llamado punto
de equilibrio entre la oferta y la demanda.
Soluci´
on. Considere la funci´
on h(x) = f (x) − g(x). Asi, h es continua por el ´algebra de funciones
continuas. Como h(0) = −6 < 0 y h(10) = e10 > 0, entoncespor el Teorema del Valor Intermedio
existe un punto x0 ∈ ]0; 10[ tal que h(x0 ) = 0, es decir f (x0 ) = g(x0 )

2

Curso: Matem´
aticas II

Calificada 2
Viernes 20 de Enero de 2012

1. Sea f : A → R una funci´
on.
a) (1 punto) Escriba la definici´
on de derivada de f en x0 ∈ A ∩ A .
f (x) − f (x0
Soluci´
on. f (x0 ) = l´ım
x→x0
x − x0
b) (3 puntos) Si f es derivable en x0 y f (x) = 0 para todo...

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