20142ILN250V001_Pauta_Control_N 4_2 S_2014_P1

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS
CASA CENTRAL

PAUTA CONTROL N°4 – PARALELO 1
SEGUNDO SEMESTRE 2014
GESTION DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Pregunta N°1 (100Puntos) Considere el siguiente problema de optimización no lineal
con restricciones:
Max
S.A.

24𝑥1 − 𝑥12 + 10𝑥2 − 𝑥22
𝑥12 + 𝑥22 ≥ 36
3𝑥1 ≥ 2𝑥2
0 ≤ 𝑥1 ≤ 8
0 ≤ 𝑥2 ≤ 7

a) (20 Puntos) Determine cuál es lasolución óptima y valor óptimo del problema
dibujando la región de puntos factibles y las curvas de nivel de la función
objetivo.

Gráfico con dominio de soluciones factibles y al menos una curva denivel para la
función objetivo: (10 Puntos)
Solución Óptima y Valor Óptimo: x1=8 x2=5 y V(P)=153 (o V(P)=-153 en minimización)
(10 Puntos)

b) (80 Puntos) Verifique que la solución óptima encontrada porusted en a)
satisface las condiciones de optimalidad Karush-Kuhn-Tucker.
El problema admite solución óptima pues se dan las hipótesis de uno de los teoremas
de existencia de solución óptima condominio de soluciones factibles acotado, esto es
se tiene una función objetivo continua, un dominio de soluciones factibles cerrado y
no-vacío y además lim f(x) = +∞ cuando ║x║ → +∞ (5 Puntos)
Lascondiciones de primer orden del teorema de Karush-Kuhn-Tucker para este
problema son: (15 Puntos)
6

∇𝐾𝐾𝑇(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑢𝑙 ) = ∇𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) + ∑ 𝑢𝑙 ∇ℎ𝑙 (𝑥1 , 𝑥2 ) = (0,0) 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑙 ≥ 0 ∀𝑙
𝑙=1

𝑢1 (−𝑥12 − 𝑥22 + 36) =0
𝑢2 (−3𝑥1 + 2𝑥2 ) = 0
𝑢3 (𝑥1 − 8) = 0
𝑢4 (𝑥2 − 7) = 0
𝑢5 (−𝑥1 ) = 0
𝑢6 (−𝑥2 ) = 0
De la resolución gráfica en a) se puede apreciar que la solución óptima se encuentra en
la coordenada B (x1=8, x2=5)donde sólo ℎ3 (𝑥1 , 𝑥2 ): 𝑥1 ≤ 8 es una restricción activa en
el óptimo. En consecuencia activamos solo ℎ3 (𝑥1 , 𝑥2 ): (15 Puntos)
∇𝐾𝐾𝑇(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑢𝑙 ) = ∇𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) + 𝑢3 ∇ℎ3 (𝑥1 , 𝑥2 ) = (0,0) 𝑐𝑜𝑛 𝑢3≥ 0
(𝑁𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑙 = 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 3)
∇𝐾𝐾𝑇(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑢𝑙 ) = (2𝑥1 − 24, 2𝑥2 − 10) + 𝑢3 (1,0) = (0,0) 𝑐𝑜𝑛 𝑢3 ≥ 0
De donde se obtiene que x1=8, x2=5, u3=8>=0 (15 Puntos). Adicionalmente el...