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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA











PROFESOR : Ing. Rojas

Problemas resueltos
Graficas en MATLAB








I. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DEFINICION 1.
|Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma: |
|Y´ + P(x)y =Q(x); Donde P y Q son funciones continuas. . |


Q(x) = 0 para todo x, se obtiene y´ + P(x) = 0 que es separable. Concretamente se puede escribir:
y´= - P(x) o bien 1 dy = - P(x) dx
Siempre que y [pic] 0. Integrando se obtiene
In |y| = - P(x)dx + In |C|.
La constante de integración se ha expresado como In |C|para cambiar la forma de la última ecuación, como sigue:
Ln|y| - ln|C| = - ∫ P(x) dx
ln|y/C| = - ∫ P(x) dx
y/c = e ∫ p(x)dx = C
Por lo tanto si se multiplicamos por e f p(x)dx, ambos lados de y´+ P(x)y =Q(x), la ecuación resultante puede escribirse como
Dx [ye f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx
Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente solución implícita de la ecuacióndiferencial lineal de primer orden en la definición anterior.
[pic]= Q (x) [pic]dx + K
Donde K es una constante. Despejando y de esta ecuación se obtiene una solución explícita. Se dice que la expresión [pic]es un factor de integración (o integrativo) de la ecuación diferencial. Quedó demostrado el siguiente resultado.
TEOREMA 2
|La ecuación diferencial lineal de primer orden y´ + P(x).y = Q(x) sepuede transformar en una ecuación diferencial separable multiplicando |
|ambos lados de la ecuación por el factor de integración [pic]. |


Ejercicio de aplicacion 1.
Resolver:
[pic] – 3x²y = x²
Solución
La ecuación diferencial tiene la forma en la definición anterior con
P(x) = -3x²
Q(x) = x²
Factorintegrante:
[pic]
Reemplazamos y aplicamos el teorema
[pic] 
Finalmente, multiplicando por e–x³ obtenemos la solución explícita
Y = 1/3 + C[pic]
[pic]
PROBLEMA 1
Resolver:
[pic]

Solución:
[pic]

Haciendo cambio de variable

[pic]
[pic]

Sustituimos
[pic]
Simplificando
[pic]

Resolviendo e integrando
[pic]
Cambiando de variable
[pic]



PROBLEMA 2
La pendiente de unafamilia de curvas está dada por:
[pic]
Encuentre el miembro de la familia que pasa por el punto. (2;1)
Solución:
Separando variables
[pic]
Integrando:
[pic]
Simplificando
[pic]
Evaluando en el punto (2;1) obtenemos que[pic], con lo cual el miembro de la familia buscado es
[pic]
La recta tangente a la curva [pic]en el punto (2;1) se muestra en la figura

| |
|Figura 1.1: Recta tangente a la curva |
|[pic]. |


PROBLEMA 3
Resolver:
Y´ + y tan x = sec x + 2x cos x
Solución:
Factor integrante:
eftan x dx = e ln|sec x| = |sec x| 
Multiplicando por |sec x|
Y´ sec x + y sec x tan x = sec ² x + 2x cos x sec x
D (y sec x) = sec ² + 2xIntegrando
Y sec x = tan x + x² + C
Y = sen x+ (x² + C) cos x
[pic]





PROBLEMA 4

Resolver:

[pic]

Solución:

[pic] [pic] [pic]

Factor integrante:

[pic]

Solución será:

[pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic] Para c=1

PROBLEMA 5

Resolver:

[pic]

Solución:

[pic]

Aplicando: [pic]Reemplazando:

[pic]



[pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic] para c=1

[pic]

PROBLEMA 6

Resolver:

[pic]

Solución:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]



II. Ecuación Diferencial de Bernoulli

[pic]

[pic]



















Ejemplo ilustrativo :

[pic]




ejemplo:

resuelva la siguiente ecuacion...