3 Calificada

Universidad Nacional de Ingenier´ ıa Facultad de Ciencias Escuela Profesional de Matem´tica a
[Curso: Calculo diferencial] [Prof: J. Cotrina, R. Acu˜ a, P. Escudero, L. Mamani] n

Ciclo 2012-IPr´ctica califica N o 3 a

1. Sea f : domf ⊆ R → R una funci´n definida por o f (x) = Halle su dominio. 2. Analice la veracidad o falcedad de las siguientes proposiciones, justifique su respuesta a) Sif es una funci´n par y g es una funci´n impar, entonces f ◦ g es par. o o b) Si f es una funci´n par y g es una funci´n impar, entonces g ◦ f es impar. o o c) Si f es una funci´n par y g es unafunci´n impar, entonces f + g 2 es par. o o 3. Averiguar la inyectividad de la funci´n f definida por o f (x) = x+2 x−2
1/2

x2 + 4x + 4 | x + 1 | −13.

4. Sea {xn }n∈N ⊂ R una sucesi´n definida de formarecurrente por o xn+1 = demostrar que: a) {xn } esta acotada inferiormente por b) {xn } es una sucesi´n decreciente. o Uni, 11 de mayo del 2012 √ 2 1 2 xn + 2 xn , x1 = 2

Solucionario
1. Si x +1 ≥ 0 entonces | x + 1 |= x + 1, de esto x2 + 4x + 4(x + 1) − 13 = x2 + 8x − 9 = (x + 9)(x − 1) ≥ 0 con conjunto soluci´n dado por ] − ∞, −9] ∪ [1, +∞[. Por la parte inicial x ≥ −1 entonces losvalores o admisibles estan en el siguiente conjunto [1, +∞[. Finalmente, si x + 1 < 0 entonces | x + 1 |= −(x + 1) de esto x2 + 4x + −4(x + 1) − 13 = x2 − 17 ≥ 0 cuyo conjunto soluci´n viene dado por o √ √ı ] − ∞, − 17] ∪ [ 17, +∞[. Por la parte inicial x < −1, as´ los valores admisibles estan en el siguiente √ √ conjunto ] − ∞, − 17]. Por tanto, domf =] − ∞, − 17] ∪ [1, +∞[. 2. a) Verdadero, f ◦ g(−x)= f (g(−x)) = f (−g(x)) = f (g(x)) = f ◦ g(x) en la segunda igualdad usamos el hecho que g sea impar y en la tercera igualdad usamos que f sea par. b) Falso, consideremos f (x) = x2 y g(x) = x,tenemos que g ◦ f (x) = x2 que no es impar. c) Verdadero, pues (f +g 2 )(−x) = f (−x)+g(−x)2 = f (x)+(−g(x))2 = f (x)+g 2 (x) = (f +g 2 )(x). 3. No es dificil mostrar que domf = R\] − 2, 2]. Sean x, y ∈...