3

Facultad de Ingeniería
Matemática II

DERIVADA DE ORDEN
SUPERIOR Y DERIVACIÓN
IMPLÍCITA
Lic. Martha Armas Aguilar

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función derivable, entonces
𝑦′ = 𝑓 ′𝑥 =
𝑦 ′′

=

𝑓 ′′

=

𝑓 ′′′

𝑦 ′′′
𝑦

(4)

=𝑓

𝑑𝑦
,
𝑑𝑥

𝑥 =

𝑑2𝑦
,
𝑑𝑥 2

𝑥 =

(4)

es la primera derivada de la función.
es la segunda derivada de la función,

𝑑3 𝑦
,
𝑑𝑥 3

es la tercera derivada dela función,

𝑥 =

𝑑4 𝑦
,
𝑑𝑥 4

es la cuarta derivada de la función,

𝑥 =

𝑑𝑛𝑦
,
𝑑𝑥 𝑛

es la n – ésima derivada de la función.

⋮
𝑦 (𝑛)

=

𝑓 (𝑛)

Ejemplos explicativos:
1

1) Calcular la terceraderivada de 𝑦 = sin 6𝑥
2) Calcular la tercera derivada de 𝑦 = 𝑒 2𝑥 cos 6𝑥
3) Calcular la cuarta derivada de 𝑦 = ln 𝑥 2
4) Calcular la segunda derivada de 𝑦 =

2

3
𝑥 2 −5

Determinar la 𝑛-ésima derivadade cada una de las siguientes funciones,
para el número 𝑛 dado:
1
2𝑥+1

1)

𝑛 = 4 y 𝑓(𝑥) =

2)

𝑛 = 5 y 𝑔 𝑡 = 𝑡3 +

3)

𝑛 = 4 y 𝑤(𝑢) =

2
𝑡

𝑎𝑢−𝑏
𝑎𝑢+𝑏

(Con 𝑎, 𝑏 constantes)

DERIVACIÓN IMPLÍCITA



Este método consiste en encontrar la derivada de una
función 𝑓, cuando la variable dependiente "𝑦", no se
encuentra en la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥).
En este caso la ecuación que relaciona a las variables
"𝑥" e"𝑦", se encuentran en la forma: 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0
Forma explícita

Forma implícita

𝑦 = 3𝑥 2 + 11𝑥 − 9

𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑥𝑦 − 8

𝑦 = 𝑥 2 tan 𝑥 3 − 22

tan 𝑥 − 4𝑦 = 3𝑥 + 𝑦 4

2

𝑦 = 𝑒 6𝑥 (tan 𝑥 − cos 2𝑥)

5𝑥 2 −7𝑥𝑦 + 9𝑥 − 𝑦 2 + 22𝑦 − 6

Para obtener la derivada

𝑑𝑦
𝑑𝑥

de una función implícita se emplean las mismas

fórmulas y reglas de derivación estudiadas hasta ahora, en donde debe
tenerse solamente elcuidado de tratar a la variable dependiente 𝒚

exactamente como una variable, es decir ocupara el lugar 𝒖 en las fórmulas.
EJEMPLO


Para derivar 𝑦 3 debe utilizarse la fórmula de la potencia, de lasiguiente
forma:



𝑑 3
𝑦
𝑑𝑥

= 3𝑦 2

𝑑𝑦
.
𝑑𝑥

Para derivar 𝑥 6 𝑦 3 debe utilizarse la fórmula del producto, de la siguiente
forma:

𝑑 6 3
𝑥 𝑦
𝑑𝑥

= 𝑦3

𝑑 6
𝑥
𝑑𝑥

+ 𝑥6

𝑑 3
𝑦 …..
𝑑𝑥

𝑑𝑦

Otra...