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Teoría de conjuntos

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
TEORÍA DE CONJUNTOS
DEFINICIÓN DE CONJUNTO
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con
certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan
letrasmayúsculas.
Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x1 ∈ A . En
caso de que un elemento y1 no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y1 ∉ A
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por
comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos suselementos entre llaves.
2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece
entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:

A={ x

P (x ) } = { x1 , x 2 , x3 ,⋅ ⋅ ⋅ , x n }

que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x ) es
1
verdadera, como x1 ,x 2 , x3 , etc .

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un
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conjunto o las relaciones entre conjuntos .
4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los
elementos.
Ejemplo.
Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y
por diagrama deVenn.
Solución.
Por extensión: V = { a ,e ,i ,o ,u }

{

Por comprensión: V = x

a

x es una vocal }

Por diagrama de Venn:

i

o
e

u
V

1

La notación

P(x )

no representa un producto, es una condición que deben satisfacer los elementos para pertenecer a un

conjunto.
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En el caso particular de que un conjunto tenga un sólo elemento numérico, a menos de que sehaga la distinción, no representa el
número de elementos que posee el conjunto.

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Ejemplo.
Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.
Solución.
Por extensión: P = { Mercurio ,Venus ,Tierra , Marte, Júpiter , Saturno ,Urano , Neptuno , Plutón }{

x es un planeta del sistema solar }

Por comprensión: P = x
Por diagrama de Venn:

Urano

Neptuno

Marte

Saturno

Plutón

Júpiter

Mercurio

Venus

Tierra

P

Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B , se dice que A es un
subconjunto de B . La notación A ⊂ B significa que A está incluido en B y se lee: “ A es subconjunto
de B ” o “A está contenido en B ”.
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A no es
subconjunto de B . En este caso la notación A ⊄ B significa que A no es un subconjunto de B .
Gráficamente, esto es:

B

B

B
A

A

A

A⊂ B
B⊄ A
En

los

ejemplos

anteriores,

A⊄ B
B⊄ A
si

A⊄ B
B⊄ A

F = { a ,e ,o }

es

el

conjunto

delas

vocales

fuertes

y

S = { Mercurio,Venus } es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple que:
F ⊂ V y que S ⊂ P . De la misma forma, nótese como: F ⊄ P , S ⊄ V , F ⊄ S y S ⊄ F .

La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio
de los símbolos η o # .
De los conjuntos anteriores: η(V ) = 5 , η(F ) =3 , η(P ) = 9 y η(S ) = 2 .
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CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS
•

Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por
conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos.

φ ={ x

x...