6CT_02_4

EJEMPLOS
TEMA 2.9 * 2º BCT

@ Angel Prieto Be
nito

Apuntes 2º Bachillerato
C.T.

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS
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¿Cuál será el espacio engendrado por los vectores (2, 3, 4) y (6, 9,12)? ¿Qué
dimensión tienen dicho subespacio?

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Solución

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Para definir un espacio vectorial, solo se utilizan los vectores linealmente
independientes.
Vectorial: (x, y, z) = (2, 3, 4).λ
Despejando por componentes seobtienen las Parámetricas:
x = 2. λ ; y = 3. λ ; z = 4. λ
Despejando λ e igualando dos a dos tenemos:
x/2 = y/3 ,, x/2 = z/4
3x – 2y =0
2x – z =0

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Su dimensión es igual al número de elementos que tenga una cualquiera de sus
bases.
En este caso una base seria: B = {(2,3,4)} Dim = 1

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Razona,con ejemplos, cuándo dos vectores de R2 son linealmente
dependientes o independientes.
¿Qué relación tienen que verificar las componentes de cada caso?.
Solución
Linealmente dependientes ó ligados: (1,2), (2,4), (- 1, - 2). Proporcionales
Linealmente independientes: (1,2), (2,3). No proporcionales

Razona mediante ejemplos, cuando dos vectores de R3 son linealmente
dependientes o independientes.¿Qué relación tienen que verificar las
componentes en cada caso?.
Solución
u = (1,2,3), v = (2,4,6)
2 u – v = 0. Proporcionalidad.

Razona si son linealmente dependientes los vectores:
u, v, y 2.u + v.
Solución
Los vectores u, v y 2.u + v no son linealmente dependientes porque el
tercer vector es combinación lineal de los dos primeros.

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Si un conjunto de vectores contiene al vector nulo, ¿es libre o ligado?.
Razona tu contestación con un ejemplo.
Solución
Es ligado. Siempre existirá un conjunto de números Reales no todos nulos,
tal que una combinación lineal con estos valores nos dé cero.
λ1 .x1 + λ2 .x2 + ….+ λn .xn = 0

¿Puede tener un vector distintas coordenadas respecto de la misma base?.
¿Y respecto debases distintas?. Pon un ejemplo.
Solución
a)
No. Si un subconjunto B es base de un conjunto V, cualquier elemento
de V debe tener una expresión única respecto de B.
b)
Si.
Sea_a = (1,2,3) y sean B1 = { U1=(1,0,0), U2(0,1,0), U3=(0,0,1)};
B2 { V1=(1,1,1), V2=(0,1,1), V3=(0,0,1)} dos bases de R3
Respecto de B1:
a= U1+2.U2+3.U3; a = (1,2,3)
Respecto de B2:
a= U1+ U2+ U3 ; a = (1,1,1)

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Determinar los valores de a y b para que el vector (1, 4, a, b) sea
combinación lineal de los vectores (1, 2, - 1, 2) y (0, 1, 2,1)
Solución
(1, 4, a, b) = α.(1, 2, - 1, 2) + β.(0, 1, 2, 1)
1 = α ,, 4 = 2.α + β ,, a = - α + 2.β ,, b = 2.α + β
De las dos primeras ecuaciones se obtiene: α = 1 , β = 2
Por lo que tenemos: a = -1+ 4 = 3 ,, b = 2 + 2 = 4

Determinar los valores de a y b para que el vector (a, -2, 1, b) sea
linealmente independiente de los vectores (1, 2, 3, 4) y (-1, 0, -2, 3).
Solución
Si tres vectores son linealmente independientes, entonces uno de ellos se
puede escribir como combinación lineal de los otros dos. Aplicando al
ejemplo:
(a, - 2, 1 ,b) = α ( 1, 2, 3, 4) + β (- 1, 0, - 2, 3)
a = α - β ,, -2 = 2.α ,, 1 = 3.α – 2.β ,, b = 4.α + 3.β
De la segunda se obtiene, a = – 1
Sustituyendo en la tercera, β = – 2
Y llevando estos valores a la primera y cuarta se obtiene:
a = 1 y b = – 10

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En R3 determinar el subespacio vectorial generado por (1, 2, 5). Dar tres
vectores del citado subespacio.
Solución
(x, y,z) = (1,2, 5).λ
Para λ = 1, -1 y 2 respectivamente: (1, 2, 5) , (-1, - 2, - 5) , (2, 4, 10)

¿Pertenece el vector (2, 1, 3, -7) al subespacio engendrado por (1, 3, 3, 0) y
(2, 1, 5, 2)?.
Solución
Si el vector (2, 1, 3, - 7) pertenece al subespacio engendrado por los
vectores (1, 3, 3, 0) y (2, 1, 5, 2), entonces deberá poder escribirse como una
C.L. de ellos:
(2, 1, 3, - 7) = α.(1, 3, 3, 0)...