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Clase Auxiliar Nº 1 PRIMAVERA 2011


ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS EN ANÁLISIS DIFERENCIAL E INTEGRAL

Sea [pic]
La diferencial total es: [pic]
(diferencial lineal en dos variables)

Sean[pic] y [pic]
Entonces, [pic]

Condición de exactitud: [pic]

Si una expresión diferencial lineal cumple la condición de exactitud, diremos que es integrable, es decir, si se integra enforma definida, entre puntos [pic] y [pic], el resultado de la integración es:
[pic]
Otra forma de expresarlo es:
[pic]

Si la diferencial es exacta, el resultado de la integración entre dospuntos z1 y z2 es siempre el mismo, independientemente de la trayectoria empleada.

Las funciones de estado tienen diferencial exacta.
Una expresión diferencial lineal en x e y que no cumpla lacondición se dice que es inexacta y por lo tanto “no integrable”. Es decir, el resultado de la integración depende de la trayectoria elegida que enlaza dichos puntos.




Identidades Importantespara el caso de tres variables x, y, z:

[pic] o [pic]
[pic]

Tomando una cuarta variable u:
[pic]
[pic]

Por último, para relacionar una nueva derivada del tipo [pic] en que [pic] con[pic], se puede partir de
[pic]
y formar directamente a partir de allí la relación buscada.
[pic]





PROBLEMAS


Problema 1

Sea [pic], encuentre la función [pic]

Solución:Sean [pic] y [pic]
Como [pic], la diferencial es exacta.
Integramos primero con y constante:
[pic]
Ahora, derivando parcialmente con respecto a y a x constante:
[pic]
Por otra parte, [pic]Por lo que
[pic]
Finalmente, se tiene
[pic]



Problema 2


El coeficiente de dilatación cúbica de un cierto líquido está dado por [pic] con A y B constantes.
a) Expresar [pic] entérminos de k y beta.
b) Calcular [pic]
c) Calcular [pic]

Indicación:
Coeficiente de compresibilidad [pic]
Coeficiente de dilatación cúbica [pic]

Solución:

a) Sea [pic]
Con las...