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VIBRACION DE CUERDAS

I. Objetivos:
En esta pr´actica se generan vibraciones en cuerdas met´alicas sometidas a tensi´on. La vibraci´on de
las cuerdas es analizada ´opticamente mediante un elemento fotovoltaico, el cual genera una imagen
del movimiento en el osciloscopio. De esta forma, es posible investigar c´omo depende la frecuencia de
vibraci´on de la cuerda, de su longitud, deldi´ametro de su secci´on, de la densidad del metal utilizado,
y de la tensi´on aplicada.
En particular, en este experimento se va a
1. Medir la frecuencia de vibraci´on de una cuerda en funci´on de su longitud y de la tensi´on
aplicada.
2. Medir la frecuencia de vibraci´on para varias cuerdas met´alicas de la misma longitud, manteniendo fija la tensi´on aplicada.

II. Introducci´
on te´orica:
Es posible demostrar que bajo ciertas condiciones ideales la propagaci´on de perturbaciones en
una cuerda de densidad ρ, secci´on transversal s, y sometida a una tensi´on F , satisface la ecuaci´on
general de ondas en una dimensi´on,
2
∂ 2 Ψ(x, t)
2 ∂ Ψ(x, t)
=
c
,
∂t2
∂x2

donde c ≡

F
s·ρ

(1)

es la velocidad de propagaci´on de la onda, y Ψ(x, t) mide la desviaci´on de lacuerda

con respecto a la posici´on horizontal de equilibrio en el punto x y en el instante t. La expresi´on
(1) es una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales. Ecuaciones de este tipo aparecen con mucha
frecuencia en f´ısica.

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Podemos comprobar que cualquiera que sea el valor de ωk las funciones peri´odicas de la forma
Ψsk = sen(ωk t − kx)
Ψck = cos(ωk t − kx),

(2)

sonsoluciones de la ecuaci´on de ondas (1) si k = ±ωk /c. La magnitud k se denomina n´
umero de
ondas y la longitud de onda se define como λ = 2π/ |k|. La frecuencia de estas ondas, fk , se define
entonces como fk = |ωk | /2π, siendo el per´ıodo Tk = 1/fk . La unidad de fk en el S.I. es el Hertz o
hercio (Hz.) (1 Hz. = 1 s−1 ).
Adem´as, podemos comprobar f´acilmente que cualquier combinaci´on linealde la forma
(ak Ψsk + bk Ψck ) ,

Ψ=

(3)

k

donde ak y bk son coeficientes constantes reales o complejos, es tambi´en soluci´on de la ecuaci´on de
´
ondas. Este
es el llamado principio de superposici´on de las ondas: cualquier superposici´on de ondas
es, a su vez, una onda.
Si la cuerda est´a sujeta y fija por sus extremos situados en x = 0 y x = l, ha de cumplirse
Ψ(0, t) = Ψ(l,t) = 0 pues en estos dos puntos no puede haber oscilaci´on. Adem´as, puesto que Ψ
mide distancias, esta magnitud ha de tomar valores reales. Se puede demostrar que estas condiciones
reducen las posibles soluciones de la ecuaci´on de ondas a aquellas de la forma
Ψ=

[Ak cos(ωk t) + Bk sin(ωk t)] sin(kx),

(4)

k

con k = nπ/l, siendo n = 1, 2, 3..., y donde Ak y Bk son ahoracoeficientes reales. Se obtiene tambi´en
que los posibles valores para la frecuencia f son ahora
fn =

n
2l

F
,
s·ρ

n = 1, 2, 3, ...

(5)

Para n = 1, la frecuencia se denomina fundamental, y los sucesivos m´
utiplos, n = 2, 3, ..., se denominan arm´onicos. Una perturbaci´on producida en una cuerda tensionada y fija por sus extremos puede
ser expresada como una superposici´on lineal demovimientos peri´odicos; una de tales componentes
(n = 1) oscila con la frecuencia fundamental f = f1 y el resto son excitaciones de los sucesivos
arm´onicos. Si en el sumatorio de la ecuaci´on (4) todos los coeficientes son cero excepto los correspondientes a un deteminado valor de n, entonces la forma de la onda, tanto en el tiempo como en el
espacio, es sinusoidal. En cualquier otra situaci´onla forma de la onda puede ser muy complicada.

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Al incluir efectos de rozamiento en el sistema, puede demostrarse que, en general, los diferentes arm´onicos se amortiguan tanto m´as r´apidamente cuanto mayor es el valor de n. La vibraci´on
sinusoidal fundamental ser´a, por tanto, la componente m´as estable del movimiento de la cuerda, y
corresponder´a, teniendo en cuenta que s = 41 πd2...