Actividad 3

 ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES
Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuacióndiferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:
 
ORDEN 1: Y´=2x
ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0
ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy= x ex
ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx
 Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en unintervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial
Y´ = 6x 2 - 5
Tiene solución
F (x) = 2x3 - 5x + C
Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Sedice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo,tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x3 – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo
EJEMPLO 1
 
[pic] Encontrar la solución general de la ecuación diferencial y´= 2x e ilustrarla gráficamente
a. Obtener una solución particular de y´ = 2x que satisfaga la siguiente condición: y = 3 cuando x = 0SOLUCIÓN
 
a. Si f es una solución de y´ = 2x, entonces f´´(x) = 2x. La integral indefinida lleva a la solución general
Y = f (x) = x² + C.
Podemos encontrar soluciones particularesasignando valores específicos a C. Así obtenemos la familia de parábolas y = x² + C
b. Si y = 3 cuando x = 0, entonces sustituyendo en y = x² + C obtenemos 3 = 0 + C, o bien C = 3. Por lo tanto,la solución particular es y = x² + 3
EJEMPLO 2
Demostrar que la ecuación diferencial y´´ - 25y = 0 tiene como solución
F(x) = C1e5x + C2e-5x
Donde C1 C2 son números reales
SOLUCION. Derivando...