Administracion del Tiempo

Determinantes

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
DETERMINANTES
CONCEPTO DE DETERMINANTE
DEFINICIÓN
Sea

A una matriz cuadrada de orden n . Se define como determinante de A (denotado como A ,

det ( A)

ó ∆ A ) a la suma de los n productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al
multiplicar n-elementos de lamatriz de tal forma que cada producto contenga un sólo elemento de cada
fila y columna de A .
Esto significa que un determinante es un valor numérico
cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo .

a11
a21

det ( A) = a31
⋮

an1

κ

que está relacionado con una matriz

a12
a22

a13 … a1n
a23 … a2 n

a32
⋮

a33 … a3n = κ
⋮
⋮
⋮

an 2

an 3 ⋯ ann

Dos matrices diferentes (tanto en orden como enelementos) pueden tener igual determinante. Nótese
como la notación de determinante no presenta los corchetes (a diferencia de las matrices) sino sólo
líneas.

CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS
Para calcular determinantes de segundo y tercer grado el método más simple es el de multiplicación
diagonal, mejor conocido como Regla de Sarrus.

Esta regla establece quepara una matriz de segundo orden

a 
a
A =  11 12  , su determinante se calcula
a21 a22 

de la siguiente manera:

det ( A) =

a11

a12

a21 a22

= a11a22 − a21a12

esto significa que el determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal
principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Ejemplos.
1)

3 5
= 3(4 ) − 2(5) = 12 − 10 = 2
2 4
1Determinantes

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

4 −8
= 4(− 7 ) − 3(− 8) = −28 + 24 = −4
3 −7
− 12 − 6
3)
= −12(− 4 ) − 5(− 6 ) = 48 + 30 = 78
5
−4
2)

 a11

La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden A = a 21

 a31

a12
a22
a32

a13 
a 23  , establece que su
a33 

determinante se calcula como:

a11
det ( A) = a21
a31

a12a22
a32

a13
a23 = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a23 − a31a22 a13 − a21a12 a33 − a11a32 a23
a33

esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los productos de los elementos de la
diagonal principal y sus dos paralelas, menos la suma de los productos de los elementos de la diagonal
secundaria y sus dos paralelas.
Ejemplos.

1 −3 5
1) 7
4 − 1 = 1(4 )(6 ) + 7(0 )(5) + (− 2 )(−3)(− 1) − (− 2 )(4 )(5) − (7 )(− 3)(6 ) − 1(0 )(− 1)
−2 0
6

= 24 + 0 − 6 + 40 + 126 + 0 = 184
2 −1 0
2) 3 5 10 = 2(5 )(− 8 ) + 3(7 )(0 ) + 1(− 1)(10 ) − 1(5)(0 ) − 3(− 1)(− 8) − 2(7 )(10 )
1 7 −8

= −80 + 0 −10 − 0 − 24 −140 = −254
3 −5 8
3) − 4
2
3 = 3(2 )(− 1) + (− 4 )(9 )(8) + 7(− 5)(3) − 7(2 )(8) − (− 4 )(− 5)(− 1) − 3(9 )(3)
7
9 −1

= −6 − 288 −105 −112 + 20 − 81 = −572
PROPIEDADES DE LOSDETERMINANTES
1. Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el determinante es cero.
Ejemplos.
1)

2 0
= 2(0 ) − 6(0 ) = 0 − 0 = 0
6 0

2

Determinantes

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

2)

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

−9 1
= (− 9 )(0 ) − 0(1) = 0 − 0 = 0
0 0

2. El determinante de la matriz

A es igual al determinante de la matriz ATEjemplo.

5 − 1
A=

8 3 
5 −1
det ( A) =
= 5(3) − (8)(− 1) = 15 + 8 = 23
8 3
 5 8
AT = 

− 1 3

( )

det AT =

5 8
= 5(3) − (− 1)(8) = 15 + 8 = 23
−1 3

3. Si cada elemento de un renglón o una columna es multiplicado por un escalar
también multiplicado por

k , el determinante es

k.

Ejemplos.

2 3
4 5

= 2(5) − 4(3) = 10 − 12 = −2

Multiplicando el primer renglón por

6 9
4 5

k =3

=6(5) − (4 )(9 ) = 30 − 36 = −6

Multiplicando la primera columna por

k =3

6 3
= 6(5) − 12(3) = 30 − 36 = −6
12 5
en general:

k

⋯ a1n

a11

a12

ka11

a21
⋮
an1

a22 ⋯ a 2 n ka21
=
⋮
⋮
⋮
⋮
a n 2 ⋯ ann kan1

⋯ a1n

a12

ka11

a22 ⋯ a2 n
a
= 21
⋮
⋮
⋮
⋮
an 2 ⋯ ann
an1

ka12 ⋯ ka1n
a22
⋮
an 2

⋯
⋮
…

4. Si se intercambian dos renglones o (columnas) el signo del determinante cambia.
Ejemplos.

4 5
=...