Ajajaja

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PROBLEMAS PROPUESTOS CON RESPUESTAS
A.- Cinemática 1. La ecuación de la trayectoria descrita por un punto vectorial es y 2 = 4 x , para x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 . En el instante t = 0 el móvil pasa por el origen de las coordenadas (x = 0; y = 0). La proyección del movimiento sobre el eje de las x es un movimiento uniformemente acelerado, a x = 8m / s 2 . Determinar; • La velocidad del móvil al pasardel origen. Sol. 0i + 4j • El instante en el cual el vector velocidad forma un ángulo de 30º con el eje x. Sol. t = 0,87 s • Las componentes intrínsecas del vector aceleración, y el radio de curvatura de la trayectoria en el 2 2 instante t = 3 segundos. Sol. a tg = 23,7 m/s ; a n = 3,9 m/s ; ρ = 150 m 2. Se lanza un proyectil desde un punto de coordenadas A = (2,3,1) con velocidad v o = 3i + 4 j enun lugar donde el vector aceleración de gravedad es; g = −10 j . Determine para un tiempo genérico t los vectores: • Vector aceleración. Sol. a(t) = 0i – 10j + 0k • Vector velocidad. Sol. v(t) = 3i – (10t – 4)j 2 • Vector posición. Sol. r(t) = (2 + 3t)i – (5t – 4t – 3)j + k • La ecuación de la trayectoria. Sol. y(x) = - (5/9)x2 + (96/27)x – (51/27)
atg = 10(10t − 4) 9 + (10t − 4)2 − 30 9 + (10t− 4)2

r

r

r

• •

Las componentes intrínsecas de la aceleración. Sol.
an =

El vértice de la parábola descrita. Sol. x = 16/5 ; y = 19/5

3. La figura adjunta una escalera, que se desliza sobre una pared vertical permaneciendo siempre su extremo A en contacto con la pared, además, el extremo B de dicha escalera desliza sobre un plano horizontal permaneciendo siempre en contacto coneste. Si el movimiento de la escalinata viene definido por; θ = Kt , en donde K es una constante. Determine: • La trayectoria del punto M. Sol. x2 +y2 = L 2/4 (ecuación de una circunferencia) • La velocidad del punto M. Sol. v(t) = - (L/2) k sin(kt)i + (L/2) k cos(kt)j 2 2 • La aceleración de dicho punto. Sol. a(t) = - (L/2) k cos(kt)i + (L/2) k sin(kt)j

2

4. Una

r r (t ) = a.Cos(3t )i+ a.Sen(3t ) j

partícula

describe

una

trayectoria

dada

por

la

siguiente

ecuación

vectorial:

Determine: r Vector velocidad de la partícula. Sol. v (t ) = −3a.Sin (3t )i + 3a.Cos (3t ) j Vector aceleración de la partícula. Sol. a (t ) = −9a.Cos (3t )i − 9a.Sen(3t ) j Aceleración normal de la partícula para un tiempo genérico t. Sol. an = 9a m/s2 2 Aceleracióntangencial de la partícula para un tiempo genérico t. Sol. at = 0 m/s Radio de curvatura de la partícula para un tiempo genérico t. Sol. ρ = a ¿Qué trayectoria describe la partícula? Sol. Una circunferencia de radio a. 5. Una partícula se desplaza en el espacio describiendo una trayectoria dada por las siguientes ecuaciones paramétricas:

r

r x (θ )= a cos θ r y (θ ) = asenθ r z (θ ) = a

Donde θes una función del tiempo Determínese: & • Vector velocidad. Sol. − a.Sen(θ ).θ i + a.Cos(θ ).θ j ] • • • • Vector aceleración. Sol.

& & & & − a.(Cos(θ ).θ 2 + Sen(θ ).θ&) i + a.(Cos(θ ).θ& − Sen(θ ).θ 2 ) j & & Componentes intrínsecas de la aceleración. Sol. a tg = a.θ& a n = a.θ 2

El radio de curvatura. Sol. a ¿Qué trayectoria describe la partícula? Sol. una circunferencia de radio a.B.- Movimiento relativo 1. Heather en su Corvette acelera a razón de 3i − 2 J m/s2, en tanto que Jill en su Jaguar acelera a

i + 3 j m/s2. Ambas parten del reposo en el origen de un sistema de coordenadas xy. Después de 5
segundos, cual: • ¿Cuál es la velocidad de Heather respecto de Jill? Sol. Vh/j = 10i – 25j • ¿Cuál es la distancia que la separa? Sol. Rh/j = 67,31 m • ¿Cuál es la aceleraciónde Heather respecto de Jill? Sol. ah/j = 2i – 5j 2. Cuando el sol está directamente arriba, un halcón se mueve hacia el suelo a una velocidad de 5,00 m/s. Si la dirección de su movimiento está a un ángulo de 60º debajo de la horizontal, calcule la velocidad de su sombra que se mueve a lo largo del suelo. Sol. Vs = 2,5 m/s 3. El piloto de un avión observa que la brújula indica que va rumbo al...