Algop

Números complejos: una presentación gráfica

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA
José Luis Soto Munguía
Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora

1. INTRODUCCIÓN.
Desde los primeros años de la escuela, el estudiante se enfrenta en matemáticas con los
diferentes sistemas de números, el primero de ellos, el sistema de números naturales (N) le sirve
principalmente pararesolver problemas de conteo. Cuando aparecen problemas que conducen a
ecuaciones como x+5=3, los números naturales resultan insuficientes para resolverlas y entonces
se ve la necesidad de introducir los números negativos, ampliando con ellos el sistema N, para
completar uno nuevo: el de los números enteros. (Z)
Sin embargo, ecuaciones tan sencillas como 6x=3 no pueden resolverse si sólo secuenta con
los números enteros, se requiere entonces otra ampliación del sistema de números, que incluya
todos los cocientes de números enteros con denominador distinto de cero, se obtiene de esta
manera un conjunto al que se denomina sistema de números racionales. (Q)
Las limitaciones de este conjunto Q quedan de manifiesto cuando se trata de resolver
problemas como el de calcular la longitud quetiene la diagonal de un cuadrado cuyo lado es la
unidad. Aparecen así, números como

2 que no pueden expresarse como el cociente de dos

enteros. A estos números se les llama irracionales (~Q) y al agregarlos a Q se cuenta ya con el
sistema de números reales. (R)
Pues bien, existen problemas para cuya resolución el sistema de números reales no es
suficiente. Uno de estos problemas, es elde encontrar las soluciones de la ecuación x2=-1. La
necesidad de resolver este tipo de problemas conduce a la ampliación del sistema de números
reales hacia un sistema que permita resolverlos, esta ampliación es el sistema de los números
complejos, a los que están dedicadas estas notas.
1

Números complejos: una presentación gráfica

2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES.
Enlos cursos pre-universitarios de matemáticas, se ha venido adquiriendo una cierta
familiaridad con el conjunto de los números reales, tanto en lo que se refiere a sus operaciones y
propiedades, como en lo referente a los sistemas de números que los conforman y de los que
hemos hablado en la introducción. (N, Z, Q, ~Q) En esta sección se dará una presentación gráfica
de estos números y de susoperaciones.
Empezaremos por repasar la representación gráfica que aparece en la matemática del nivel
básico y que generalmente se da en los siguientes términos: Los números reales "llenan" la recta
numérica, lo cuál significa que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que a
cada número real le corresponde un punto en la recta. Para localizar un número real a en la recta
seprocede de la siguiente manera:
i) Se traza una recta horizontal dirigida de izquierda a derecha, a la que se llama usualmente
eje X o eje de las x´s.
ii) Se escoge un punto P cualquiera sobre la recta, a este punto P se le llama origen y se le
asocia el número cero. El origen P divide a la recta en dos partes; una a la derecha de P, llamada
parte positiva del eje de las x's y otra a laizquierda de P, llamada parte negativa del eje de las x's.
iii) Se escoge, a la derecha de P, un punto Q cualquiera sobre la recta; el segmento PQ se
tomará como unidad para medir la magnitud de a, al punto Q escogido se le asocia el número 1.
El signo de a tiene una traducción gráfica muy simple: si el signo es positivo, a se localiza a la
derecha de P, si el signo es negativo, a se localiza a laizquierda de P. Mientras que la distancia a
la que se localiza el número a se mide en términos del segmento PQ, considerado previamente
como unidad; esta distancia se conoce como el valor absoluto de, y se denota usualmente como
|a|. De esta manera el punto A correspondiente al número a, se ubica a una distancia |a| del origen
P. En la Figura 1 se muestra un caso en el que a es positivo....