Algoritmos

RESPUESTA TEMPORAL A FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO EN SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

1. CASO 1: ζ=0, s= ± ωnj ; Sistema no amortiguado

Y(s)U(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2

Dado que s= ± ωnj, se tiene que:(s+ωnj )(s-ωnj)=s2-sωnj +sωnj -ωn2(-1)=s2+ωn2

Y(s)U(s)=ωn2(s+ωnj )(s-ωnj)=ωn2s2+ωn2 , para ζ=0

Y(s)=ωn2s(s2+ωn2 )

Aplicamos Fracciones Parciales:
AS=BS+Cs2+ωn2=ωn2s(s2+ωn2)As2+ωn2+Bs+Cs = ωn2

* Si s=0 ⇒Aωn2= ωn2 ⇒ A=1
* As2 +Aωn2+Bs2+Cs = ωn2
C=0 A+B=0 ⇒ B=-1

Aplicamos, yt=L-1ys
yt=L-1 1s- ss2+ωn2

yt=1-cos (ωnt)
Gráfica 1

2. Caso 2:ζ=1, s= -ωn; Sistema críticamente Amortiguado.

Dado que s= -ωn, tenemos que:
s1=-ωn
s2=-ωn
(s+ωn)2

YsU(s)=ωn2s+ωn2+s+ωn2=ωn2(s+ωn)2

U(s)=1s
Ys=ωn2s(s+ωn)2

Aplicamos Fracciones Parciales:As+B(s+ωn)+C(s+ωn)2=ωn2s(s+ωn)2

As+ωn2+Bss+ωn+Cs=ωn2

* Sí s=0 ⇒ Aωn2=ωn2⇒ A=1

* Sí s=-ωn ⇒ c-ωn=ωn2 ⇒ C=-ωn

* As2+2Asωn+Aωn2+Bs2+Bsωn+Cs=ωn2

A+B=0 ⇒ 1+B=0⇒ B=-1

Aplicamos,yt=L-1ys
yt=L-11s-L-11s+ωn-ωnL-11(s+ωn)2
yt=1-e-wnt-ωnL-11(s+ωn)2

yt=1-e-wnt-ωnL-11s2⇒ s+ωn
yt=1-e-wnt-ωnt e-wnt

yt=1-e-wnt(1+twn)


Gráfica 2

3. Caso 3:ζ>1, Sistema Sobreamortiguado

Dado que s= -ζωn±ωnζ2-1, se tiene que:

s+ζωn+ωnζ2-1s+ζωn-ωnζ2-1

YsU(s)=ωn2s+ζωn+ωnζ2-1s+ζωn-ωnζ2-1

Aplicando us= 1s a Ys se tiene:Ys=ωn2ss+ζωn+ωnζ2-1s+ζωn-ωnζ2-1

Aplicamos, yt=L-1ys

P1=ζωn+ωnζ2-1 -P2=ζωn-ωnζ2-1

Ys=ωn2ss+P1s+P2

Aplicamos Fracciones Parciales:

As+Bs+P1+Cs+P2=ωn2ss+P1(s+P2)

As+P1s+P2+Bss+P2+Css+P1=ωn2As2+AsP1+P2+AP1P2+Bs2+BsP2+Cs2+CsP1=ωn2
1
A+B+C=0
2

AP1+P2+BP2+ CP1=0
3

AP1∙P2=ωn2

P1∙P2= ζωn+ωnζ2-1ζωn-ωnζ2-1
P1∙P2= ζ2ωn2-ωn2ζ2-1
P1∙P2= ζ2ωn2-ωn2ζ2+ωn2
P1∙P2= ωn2
Aωn2=ωn2 ⇒ A=1

B+C=-1-BP1-CP1=P1
P1+P2+BP2+CP1=0 ⇒ BP2+CP1= -P1-P2
⇒ B=-P2P2-P1 BP2-P1 =-P2...