Alzamiento

Resumen Optimización
José Tomás Marquinez - 2012

Capítulo 1.- Investigación de Operaciones.

Denición: La Investigación de Operaciones es una disciplina cientíca que aplica métodos analí-

ticos avanzados para ayudar a tomar mejor decisiones.
La metodología incluye la Denición del problema, la Contrucción del problema, la Solución del
modelo, la Vericación del modelo, y laImplementación y Control del modelo.
Capítulo 2.- Introducción al Modelamiento.

Denición: Un modelo es un esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema

o de una realidad compleja. Es una herramienta que ayuda a la toma de decisiones. Debe ser una
simplicación de la realidad.
Denición: En particular, los modelos matemáticos pretenden optimizar. Existen:
Dinámicos:Estáticos:

• Continuos.

• Estocásticos.

• Discretos.

• Determinísticos.
◦ Lineales
◦ No Lineales.

Terminología: Un modelo matemático cuenta con:
Variables de Decisión: Cantidades que se buscan determinar y que inciden en el objetivo.
Variables de Estado: Cantidades que buscan denir el estado del sistema o modelo.
Variables Auxiliares: Cantidades que buscan relacionar variables entresí, principalmente.
Restricciones del problema: Relaciones entre las variables que limitan sus valores, de la forma
hi (x) = 0, gj (x) ≥ 0.
Restricciones de las variables: Limitaciones en los valores que pueden tomar las variables por sí
solas, de la forma x ∈ Ω : Ω ⊂ Rn . Acá caen las restricciones de Naturaleza de las Variables.
Función Objetivo: Medida para comparar las alternativas posibles.Se busca maximizar o
minimizar este objetivo.
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Capítulo 3.- Programación Lineal.

Denición: Un modelo de Programación Lineal es aquel cuyas variables son continuas, y tanto

sus restricciones como su función objetivo son lineales.
Se dene el espacio de soluciones factibles Ω, o simplemente espacio factible, como la intersección
de todas las restricciones. Siésta no incluye ningún punto (si el espacio es vacío), se le dice espacio
infactible.
Se dene la solución o punto óptimo como el punto x ∈ Ω que entrega el mejor valor de la función
objetivo.
Se dene un punto vecino como aquél punto x2 que comparte todas las restricciones, excepto una,
con un punto x1 .
Se da que en los Problemas de Programación Lineal (PPL) continuos existen tresposibilidades:
No existe solución factible.
Existe una única solución.
Existen innitas soluciones.

Solución gráca: Para determinar la solución grácamente, es necesario gracar todas las restricciones, determinar el espacio común de la intersección de todas las restricciones, y gracar las curvas
de nivel de la función objetivo. En un problema de minimización, la curva de nivel de menor valordentro del dominio correponde a la solución óptima.
Existencia de Soluciones Óptimas: Sea el siguiente problema de optimización:
P ) m´ f (x)
ın
s.a. x ∈ Ω

Se dene un punto extremo como un punto que es mínimo o máximo, local o global, de una función
f sobre un dominio Ω.
Un punto x se dene mínimo global de f en Ω (y solución óptima del problema P )), si
f (x) ≤ f (y), ∀y ∈ Ω.

Unpunto x se dene mínimo local de f en Ω si existe un > 0 tal que
f (x) ≤ f (y),

∀y : ||x − y|| ≤ , y ∈ Ω

Se denen los mínimos estrictos si las desigualdades son estrictas.
Teorema: El Teorema de Existencia de Soluciones Óptimas dice que si f es continua sobre Ω, con
Ω cerrado y no vacío sobre Rn , entonces si f (x) → ∞ cuando ||x|| → ∞, x ∈ Ω, entonces P )
admite al menos una soluciónóptima.
jtmarquinezv@uc.cl

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Teorema: El Teorema de de Bolzano-Weierstrass indica que si f es continua sobre un dominio

Ω no vacío y compacto (cerrado y acotado), entonces el problema necesariamente tendrá solución
óptima.
Teorema: El Teorema Práctico de Existencia de Soluciones Óptimas de la Optimización Lineal
dice que si...